Что означает термин антикоммутатор в принципе неопределенности?

Каково значение, математическое или физическое, антикоммутаторного термина?

⟨ ( Δ А ) 2 ⟩ ⟨ ( Δ Б ) 2 ⟩ ≥ 1 4 | ⟨ [ А , Б ] ⟩ | 2 + 1 4 | ⟨ { Δ А , Δ Б } ⟩ | 2 ,
где Δ А , Δ Б , А и Б являются операторами.

Неравенство по-прежнему верно, а антикоммутаторный член «усиливает» неравенство, но почему оно появляется?

Ответы (2)

Дорогой Родриго, это интересная усиленная версия принципа неопределенности для общих операторов. А , Б чего я никогда раньше не видел, но я только что убедился, что это так. Чтобы быть уверенным, антикоммутатор просто

{ А , Б } ≡ А Б + Б А .
Мне нравится, когда фигурные скобки используются только для пар грассмановских объектов, но люди используют их в качестве бухгалтерского устройства для упрощения. А Б + Б А во всех ситуациях. Ничего сложного в обозначениях. Обратите внимание, что коммутатор и антикоммутатор появляются в неравенстве полностью симметрично, и этот факт мы выведем.

Чтобы понять, почему имеет место более сильное неравенство, откройте Википедию здесь.

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Mathematical_derivations

где только более простой вариант неравенства (без квадрата антикоммутатора) доказывается комбинацией двух неравенств. Первый,

| | А ψ | | 2 | | Б ψ | | 2 ≥ | ⟨ А ψ | Б ψ ⟩ | 2
остается неизменной. Впрочем, второе неравенство из статьи в Википедии можно усилить до полноценного равенства
| ⟨ А ψ | Б ψ ⟩ | 2 "=" | 1 2 я ⟨ ψ | А Б − Б А | ψ ⟩ | 2 + | 1 2 ⟨ ψ | А Б + Б А | ψ ⟩ | 2
Это тождество просто говорит о том, что квадрат абсолютного значения комплексного числа представляет собой сумму квадрата действительной части и квадрата мнимой части (которая была опущена в Википедии). Объединив два предыдущих неравенства, вы получите ваш «более сильный» принцип неопределенности.

(Конечно, уравнение, полученное выше, будет бесполезно слабым, если только не будут получены ожидаемые значения А , Б исчезают сами. Его можно укрепить в свой, повторив ту же процедуру для Δ А "=" А − ⟨ А ⟩ и аналогично Δ Б "=" Б − ⟨ Б ⟩ вместо А , Б .)

Я написал, что антикоммутатор означает математически и почему неравенство верно. Теперь, что физически означает термин антикоммутатор? Я не знаю, что означает этот вопрос. Это термин в уравнении, которое я могу снова прочитать и объяснить для вас. Точные ответы в физике дает математика. Поэтому я предполагаю, что ответ, который вы хотите услышать, состоит в том, что это ничего не значит физически, это просто чистая математика. Этот факт не означает, что он не может быть полезен.

Что ж, в обычных случаях более сильная версия не является «ужасно» полезной, потому что антикоммутаторный член отличен от нуля только в том случае, если в распределениях существует «корреляция». А , Б - т.е. если распределение "наклонено" в А , Б плоскость, а не похож на вертикально-горизонтальный эллипс, который обычно имеет место в простых волновых пакетах и ​​т. д. Может быть, это то, что вы хотели услышать в качестве физического объяснения термина антикоммутатора - потому что А Б + Б А всего в два раза больше эрмитовой части А Б , он измеряет корреляцию А , Б в распределении, заданном волновой функцией, хотя точное значение этих слов должно определяться формулой.

Это «строгое равенство» используется в качестве трамплина при доказательстве более распространенного выражения для HP (например, в терминах «позиция-импульс»). По крайней мере, меня так учили.
Что вы имеете в виду под ХП?
Я предполагаю, что Нолдорин имеет в виду принцип Гейзенберга, но я не понимаю, почему комментарий должен быть правильным...
@Luboš Motl Не могли бы вы привести пример этой корреляции?
Уважаемый @Rodrigo Thomas, например, классическое распределение вероятностей для Икс , п может быть С ′ опыт ⁡ ( − К ( п − с Икс ) 2 − л Икс 2 ) . Обратите внимание, что он находится в центре Икс "=" 0 и п "=" 0 . Однако при фиксированном значении Икс , наиболее вероятное значение п является п "=" с Икс . Так п и Икс любят увеличиваться друг с другом. Представьте себе типичный график со множеством точек, показывающий статистические доказательства того, что п коррелирует с Икс . Если это распределение, будет ненулевое математическое ожидание п Икс - чье лучшее (эрмитово) определение в КМ { п , Икс } / 2 .

Дорогой Родриго, мне не известен какой-либо прямой физический смысл антикоммутаторного термина, но он полезен, когда вы хотите определить состояния, которые насыщают неравенство в принципе Гейзенберга. Очевидно, чтобы имело место равенство в обычном принципе неопределенности, должны быть выполнены два условия: антикоммутаторный член должен обращаться в нуль и неравенство Коши-Шварца (см. комментарий Любоша Мотля) должно быть насыщенным. Последнее происходит тогда и только тогда, когда векторы Δ А | ψ ⟩ и Δ Б | ψ ⟩ коллинеарны, скажем Δ А | ψ ⟩ "=" λ Δ Б | ψ ⟩ . Это эквивалентно ( А − λ Б ) | ψ ⟩ "=" ( ⟨ А ⟩ − λ ⟨ Б ⟩ ) | ψ ⟩ , то есть, ψ является собственным вектором А − λ Б . Но тогда математическое ожидание антикоммутатора становится ⟨ { Δ А , Δ Б } ⟩ "=" ( λ + λ * ) ⟨ ( Δ Б ) 2 ⟩ , который обращается в нуль, только если λ является чисто мнимым, если, конечно, | ψ ⟩ является собственным вектором Б в этом случае все неравенство тривиально. Итак, в конце концов, государство | ψ ⟩ насыщает неравенство в (обычной формулировке) принципа неопределенности тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием А − λ Б для каких-то чисто мнимых λ . Это происходит, например, для когерентных состояний гармонического осциллятора.

Что означает термин антикоммутатор в принципе неопределенности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v