Я работаю над доказательством теоремы Вигнера в книге Вайнберга «Квантовая теория полей», том 1, глава 2, приложение А, но столкнулся с проблемой. В сноске на стр. 94 Вайнберг говорит:
Если реально, то выберите все исчезнет, за исключением , , и , и выберите эти четыре коэффициента, чтобы все они имели разные фазы.
Судя по языку, который он использует в сноске в целом, я бы интерпретировал Вайнберга как означающего, что если
сложный и
тогда реально, просто выбрав
как указано, уравнение
Но наверняка это неправда. Если я выберу
Что мне не хватает?
Вы правы в том, что сноску Вайнберга нельзя интерпретировать в том смысле, что любой выбор , который соответствует приведенным условиям, гарантированно удовлетворяет уравнению (2.A.17) — вы построили допустимый контрпример для этого чтения.
Сноску следует понимать скорее как краткий набросок того, как подходящее государство можно найти, ориентируясь главным образом на количество , которые не должны исчезать и оставлять часть технических деталей для читателя. Может быть, дополнительный контекст поможет прояснить предполагаемое значение: в предложении, непосредственно предшествующем тому, которое вы процитировали, Вайнберг утверждает, что
Если сложный, то выберите все исчезнуть, кроме и , и выберите эти коэффициенты, чтобы они имели разную фазу.
Если действительно, однако уже необходимо, чтобы четыре коэффициента были ненулевыми, чтобы удовлетворять уравнениям (2.A.17) и (2.A.18):
Если реально, то выберите все исчезнет, за исключением и , и выберите эти четыре коэффициента, чтобы все они имели разные фазы.
Вайнберг действительно опускает остальные детали того, как избежать необщих случаев (таких как ваш контрпример), когда уравнения (2.A.17) и/или (2.A.18) просто не выполняются . Из-за свободы выбора различных фаз и абсолютного значения четырех ненулевых коэффициентов существует бесконечно много способов избежать необщих случаев, и, вероятно, поэтому Вайнберг воздержался от указания определенного способа.