Почему обращение времени представлено антилинейным и антиунитарным оператором? [дубликат]

Операторы, связанные с физическими преобразованиями в квантовой механике, обычно унитарны и линейны, за исключением обращения времени, которое одновременно антиунитарно и антилинейно. Каково объяснение этой разницы?

Уже ответили здесь: physics.stackexchange.com/q/205680/133418
Оба ответа на самом деле предполагают более ограничительные гипотезы (CCR и симметрия Пуанкаре). Мой ответ ниже немного более общий.

Ответы (1)

Утверждение верно, если спектр оператора Гамильтона ограничен снизу (по термодинамическим причинам), но не сверху, как это происходит во многих соответствующих физических системах. Вот доказательство.

Оператор обращения времени Т удовлетворяет, по определению,

(1) Т е я ЧАС т "=" е − я ЧАС т Т
для каждого реального т и должен быть либо унитарным, либо антиунитарным по теореме Вигнера. Приведенное выше тождество подразумевает, в соответствии с природой Т ,
е ± я Т ЧАС Т − 1 т "=" е − я ЧАС т
для всех реалов т . Теорема Стоуна дает
(2) ∓ Т ЧАС Т − 1 "=" ЧАС .
Если бы оператор был унитарным, мы бы имели
Т ЧАС Т − 1 "=" − ЧАС .
Поскольку унитарные преобразования сохраняют спектр, из найденного тождества следует также
о ( ЧАС ) "=" − о ( ЧАС )
это недопустимо, так как рассматриваемый нами спектр не является симметричным относительно смены знака по условию.

В общем случае унитарное обращение времени возможно для гамильтоновых операторов с симметричным спектром. Однако, поскольку они должны иметь ограниченный снизу спектр, это возможно для гамильтоновых операторов с симметричным и ограниченным спектром.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Как заметил Элио Фабри, поскольку (чистые) состояния являются единичными векторами ψ до фаз , (1) является слишком ограничительным условием, и его необходимо смягчить в

(1') Т е я ЧАС т ψ "=" е я с ψ ( т ) е − я ЧАС т Т ψ .
Нетрудно доказать, воспользовавшись теоремой Стоуна, что с ψ ( т ) не зависит от ψ и что с ( т ) "=" с т единственная возможность для фазы с ( т ) . Поэтому, взяв производную от обеих частей, мы имеем
∓ Т ЧАС Т − 1 "=" − ЧАС + с я .
Если Т является унитарным и о ( ЧАС ) ограничена снизу, но не сверху, имеем противоречие о ( ЧАС ) "=" − о ( ЧАС ) + с . Единственная возможность заключается в том, что Т антиунитарна, так что
о ( ЧАС ) "=" о ( ЧАС ) − с

Поскольку обе стороны должны иметь конечные инф , делаем вывод, что с "=" 0 и
Т ЧАС Т − 1 "=" ЧАС
и операция обращения времени удовлетворяет однако
Т е я ЧАС т "=" е − я ЧАС т Т .
Если Т унитарный, о ( Т ) должен удовлетворить
о ( ЧАС ) "=" − о ( ЧАС ) + с
для некоторых с е р . Так что если Т унитарный, о ( ЧАС ) ограничен снизу тогда и только тогда, когда он ограничен сверху и симметричен относительно некоторой точки, которая не обязательно 0 .

Меня не удовлетворила твоя теорема: унитарность Т подразумевает ограниченный ЧАС и симметричный о ( ЧАС ) . Я задавался вопросом, почему требуется симметрия, так как я ожидал бы добавку с я ( с реальный) всегда допускается для ЧАС в № QM, без физических изменений. Теперь, кажется, я понял: ваше определение Т следует расслабиться в Т опыт ⁡ ( я ЧАС т ) "=" е я с т опыт ⁡ ( − я ЧАС т ) Т .
Да, вы можете ослабить это требование. На самом деле более корректная формулировка теоремы касается эволюции в проективном пространстве, которая при переходе в гильбертово пространство становится именно тем условием, которое вы написали.
Однако с этим явно более слабым требованием, используя теорему Стоуна, вы имеете ± Т ЧАС Т − 1 "=" − ЧАС + с я . Если о ( ЧАС ) ограничена снизу, но не сверху и Т унитарно, получаем противоречие. Так Т должно быть антиунитарным, и письменное удостоверение личности, однако, возможно только в том случае, если с "=" 0 .
На самом деле нужно еще доказать, что с ( т ) не зависит от формы ψ . Истинное требование состоит Т е я ЧАС т ψ "=" х ( т ) ( ψ ) е − я ЧАС т Т ψ для некоторого единичного комплексного числа х ( ψ ) ( т ) . Тот факт, что это не зависит от ψ имеет то же доказательство, что и аналогичное свойство в доказательстве теоремы Вигнера, где фазы (анти)унитарных операторов, представляющих симметрии, не зависят от векторов...
Сейчас, Т е я ЧАС т ψ "=" х ( т ) ( ψ ) е − я ЧАС т Т ψ подразумевает, что ⟨ ( е − я ЧАС т Т ) − 1 ψ | Т е я ЧАС т ф ⟩ "=" х ( т ) ⟨ ψ | ф ⟩ . Из этого тождества видно, что х ( т ) является дифференцируемым.
Следующий, т ↦ х ( т ) е − я ЧАС т "=" е ± я Т ЧАС Т − 1 т очевидно, унитарная сильно непрерывная группа, так что она допускает образующую по теореме Стоуна. х ( т ) е − я ЧАС т "=" е − я ЧАС ′ т . Прямое вычисление, используя тот факт, что х дифференцируема, доказывает, что ЧАС ′ "=" ЧАС + с я для некоторой константы с е р так что х ( т ) "=" е я с т . Я надеюсь, что это поможет понять процедуру @Elio Fabri. Замечание важно , поскольку оно также связано с тем, что в нерелятивистской теории ЧАС однако определяется с точностью до аддитивных констант и с может войти в картину таким образом...
(Извините, личность, которую я написал выше, неверна, правильная, очевидно, ⟨ е − я ЧАС т Т ψ | Т е я ЧАС т ф ⟩ "=" х ( т ) ⟨ ψ | ф ⟩ или то же самое, где левая часть стоит при комплексном сопряжении, если Т является антиунитарным...
Почему обращение времени представлено антилинейным и антиунитарным оператором? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v