Что происходит со статистическими суммами в пределе T→0T→0T\to 0 или β→∞β→∞\beta\to\infty?

Рассмотрим каноническую и большую каноническую статистическую сумму, заданную выражением

Z С "=" ∑ я г ( Е я ) е − β Е я
и
Z г "=" ∑ я г ( Е я ) е − β ( Е я − мю )
соответственно с β "=" 1 к Б Т .

Вопросы

∙ Что происходит с этими статистическими суммами в пределе β → ∞ ? Становится ли оно константой (в том смысле, что не зависит от Е я )?

∙ Каков физический смысл предельного результата (что бы он ни получился)?

Обновление : существующий ответ не включает роль г ( Е ) т. е. вырождение энергетического уровня Е что имеет решающее значение для принятия предела. В нем также не упоминается, что происходит с большой статистической суммой в том же пределе. Это сложнее, потому что мю сам меняется с температурой Т .

С какими проблемами вы столкнулись, пытаясь взять лимит самостоятельно? е − Икс , Икс → ∞ не является жестким ограничением.
@ACuriousMind Конечно, математически это несложно. Но есть еще один фактор, стоящий перед ним. г ( Е ) который является фактором вырождения, и он требует знать, как он себя ведет. Я также выразил свои сомнения в комментарии к ответу сеньора О. Если бы это была действительно математическая проблема ограничения, я бы не спрашивал. :-) Есть еще вопрос про функцию большой суммы, и я думаю, что это сложно, потому что мю также варьируется в зависимости от Т .

Ответы (2)

В пределе, что β → ∞ , все е − β Е я обнуляем БЫСТРО. Но самый медленный, чтобы идти к нулю, является самым низким Е я . Это основное состояние, Е 0 .

Для больших β , Z очень мал :

Z "=" е − β Е 0 + е − β Е 1 + е − β Е 2 + . . . ≈ е − β Е 0

Таким образом, когда температура приближается к абсолютному нулю, вероятность того, что система перейдет в свое основное состояние, приближается к 1.

п р о б ( Е 0 ) ≈ е − β Е 0 е − β Е 0 "=" 1

п р о б ( Е 1 ) ≈ е − β Е 1 е − β Е 0 "=" 0

Редактировать

Вырождение играет тонкую роль, но не сильно меняет физическую интерпретацию. г ( ϵ я ) просто будет целым числом, которое умножает каждый е − β Е я . Например, давайте рассмотрим систему с двумя состояниями с Е 0 ; г ( ϵ 0 ) "=" 2 и Е 1 ; г ( ϵ 1 ) "=" 4 . Наша функция распределения

Z "=" 2 е − β Е 0 + 4 е − β Е 1 .

в β → 0 ( Т → ∞ ) ограничение, вырождение играет огромную роль! Вероятность оказаться в состоянии с Е 0 является 2 2 + 4 "=" 33 % и п ( Е 1 ) "=" 67 % . (С е 0 → 1 )

Но в β → ∞ низкотемпературный предел, вырождение (системы - см. Ферми-газ, почему это различие важно) в основном не влияет, поскольку умножение Е 1 константа не спасет его от быстрого перехода в 0 из-за е − β Е 1 срок.

Я хочу еще немного подумать о Z г прежде чем дать ответ - если кто-то хочет присоединиться, не стесняйтесь.

1. Вы имели в виду п р о б ( Е 1 ) в последней строке вашего ответа. Верно? 2. Не могли бы вы включить в свой ответ роль г ( Е ) т. е. вырождение энергетического уровня Е ? Вы не учли их в своем ответе. 3. Кроме того, не могли бы вы также прокомментировать функцию большого раздела? Нетривиальный факт заключается в том, что мю сам меняется с Т или β . @Сеньор О

Я сам решил проблему.

Действительно, как β → ∞ , е − β Е я → ∞ также, поскольку E_i отрицательно. Таким образом, статистическая сумма будет стремиться к ∞ .

Однако проверьте это.

Позволять Е м быть определено как мин({ Е я }). Тогда мы можем записать статистическую сумму как

Z "=" е − β Е м ∑ я е − β ( Е я − Е м ) ⏟ Δ Е я
Заметить, что Δ Е я положительно, поэтому, когда β → ∞ , Z "=" е − β Е м → ∞ . Однако вероятность конфигурации с энергией Е м будет равно 1, а остальные конфигурации будут иметь нулевую вероятность, что является ожидаемым фактом, что при нулевой температуре распределение представляет собой дельта-функцию относительно конфигурации с минимальной энергией.

Лучший,

Шанкха.

Что происходит со статистическими суммами в пределе T→0T→0T\to 0 или β→∞β→∞\beta\to\infty?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v