Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Question

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

джепсуоми

Я новичок, читаю квантовую механику из «Введения в квантовую механику» Гриффитса, и на первых страницах книги автор определяет:

⟨ Икс ⟩ "=" \int_{- \infty}^{\infty} Икс | Ψ (Икс, т) | г Икс "=" \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (Икс) Ψ г Икс,

$\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x,t)|\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* (x)\Psi \,dx,$

⟨ в ⟩ "=" \frac{г}{г т} (⟨ Икс ⟩) "=" - \frac{я ℏ}{м} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial Икс} г Икс,

$\langle v\rangle = \frac{d}{dt}\left(\langle x\rangle\right)= -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} \,dx,$

⟨ п ⟩ "=" м ⟨ в ⟩ "=" - я ℏ \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial Икс} г Икс,

$\langle p\rangle = m\langle v\rangle= -i\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} \,dx,$

так что мне кажется, что автор работает с ожиданиями, которые имели для меня смысл. Затем я погуглил выражение для кинетической энергии и ожидал узнать, что:

⟨ Т ⟩ "=" \frac{⟨ п ⟩^{2}}{2 м},

$\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m},$

но вместо этого кажется, что

⟨ Т ⟩ "=" \frac{⟨ п^{2} ⟩}{2 м} .

$\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}.$

Почему это? Я не понимаю, что произошло в случае с кинетической энергией. Почему автор сейчас не работает с ожидаемым импульсом в случае ожидаемой кинетической энергии? Не могли бы вы показать мне вывод $\langle T\rangle$ и, что более важно, объяснение, почему это делается именно так ? В книге автор говорит, что в целом:

⟨ Вопрос (Икс, п) ⟩ "=" \int Ψ^{*} Вопрос (Икс, \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс}) Ψ г Икс,

$\langle Q(x, p)\rangle = \int \Psi^*Q(x, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x})\Psi\,dx,$

с советом, что каждый $p$ следует заменить на $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ при расчете процентного ожидания. Тем не менее, почему-часть для этого была немного несуществующей.

Мартин С.

Первый ответ здесь может вам помочь: physics.stackexchange.com/questions/424800/…

Биофизик

А пока я объясню с помощью интуиции, а не математики. Импульс имеет направление, кинетическая энергия — нет. Вы можете иметь средний импульс

0

$0$ но с ненулевой средней кинетической энергией. Выполнение среднего квадрата импульса исправляет это.

джепсуоми

@МартинС. Спасибо, я на самом деле проверил этот ответ раньше, но, к сожалению, он мне не открылся:/

джепсуоми

@AaronStevens спасибо, интуиция уже помогла :) Конечно, подробности для меня все еще в тумане. Любая другая рекомендация книги, где это может быть явно получено?

ZeroTheHero

Более простой пример различия между

⟨ p ⟩^{2}

$\langle p\rangle^2$ и

⟨ p^{2} ⟩

$\langle p^2\rangle$ было бы

⟨ x ⟩^{2} \neq ⟨ x^{2} ⟩

$\langle x\rangle^2\ne \langle x^2\rangle$ ; вам понадобится

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2\rangle$ например, для получения средней потенциальной энергии гармонического осциллятора.

Биофизик

@ZeroTheHero Я не думаю, что ОП спрашивает о разнице между

⟨ p ⟩^{2}

$\langle p\rangle^2$ и

⟨ p^{2} ⟩

$\langle p^2\rangle$ . Я думаю, что ОП просто задается вопросом, почему в средней кинетической энергии появляется один, а не другой.

Кнчжоу

Если

A = B

$A = B$ , затем

⟨ A ⟩ = ⟨ B ⟩

$\langle A \rangle = \langle B \rangle$ , потому что мы можем сделать то же самое с обеими частями уравнения. Вот и все. Если вы думаете

H = p^{2} / 2 m

$H = p^2/2m$ , затем

⟨ H ⟩ = ⟨ p^{2} / 2 m ⟩

$\langle H \rangle = \langle p^2 / 2m \rangle$ .

Ответы (2)

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Первый ответ здесь может вам помочь: physics.stackexchange.com/questions/424800/…
А пока я объясню с помощью интуиции, а не математики. Импульс имеет направление, кинетическая энергия — нет. Вы можете иметь средний импульс $0$ но с ненулевой средней кинетической энергией. Выполнение среднего квадрата импульса исправляет это.
@МартинС. Спасибо, я на самом деле проверил этот ответ раньше, но, к сожалению, он мне не открылся:/
@AaronStevens спасибо, интуиция уже помогла :) Конечно, подробности для меня все еще в тумане. Любая другая рекомендация книги, где это может быть явно получено?
Более простой пример различия между $\langle p\rangle^2$ и $\langle p^2\rangle$ было бы $\langle x\rangle^2\ne \langle x^2\rangle$ ; вам понадобится $\langle x^2\rangle$ например, для получения средней потенциальной энергии гармонического осциллятора.
@ZeroTheHero Я не думаю, что ОП спрашивает о разнице между $\langle p\rangle^2$ и $\langle p^2\rangle$ . Я думаю, что ОП просто задается вопросом, почему в средней кинетической энергии появляется один, а не другой.
Если $A = B$ , затем $\langle A \rangle = \langle B \rangle$ , потому что мы можем сделать то же самое с обеими частями уравнения. Вот и все. Если вы думаете $H = p^2/2m$ , затем $\langle H \rangle = \langle p^2 / 2m \rangle$ .

Альфред Центавр · Answer 1

Почему это?

Для конкретности рассмотрим конкретный пример, для которого $\langle T \rangle \ne \frac{\langle P \rangle^2}{2m}$

Рассмотрим случай, когда у нас есть частица с вектором состояния (для простоты работающая в 1D).

| ψ ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| + п ⟩ + | - п ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+p\rangle + |-p\rangle\right)$

где $p \ne 0$ и $P\,|\pm p\rangle = \pm p\,|\pm p\rangle$ (это собственные кеты оператора импульса).

Ясно, что ожидаемое значение импульса равно

⟨ п ⟩ "=" ⟨ ψ | п | ψ ⟩ "=" \frac{1}{2} (+ п - п) "=" 0

$\langle P\rangle = \langle\psi|P|\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(+p -p\right) = 0$

Это связано с тем, что измерение импульса имеет равные шансы дать $+p$ и $-p$ .

Однако измерение кинетической энергии может дать только

Т "=" \frac{(\pm п)^{2}}{2 м} "=" \frac{п^{2}}{2 м}

$T = \frac{(\pm p)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

и так

⟨ Т ⟩ "=" \frac{п^{2}}{2 м} \neq \frac{⟨ п ⟩^{2}}{2 м} "=" 0

$\langle T \rangle = \frac{p^2}{2m} \ne \frac{\langle P \rangle^2}{2m} = 0$

Биофизик · Answer 2

Если подумать, это на самом деле не сводится к QM, а просто зависит от того, как вы берете средние значения. QM вступает в игру только в том случае, если вы действительно хотите вычислить эти средние значения с учетом вектора состояния системы.

Мы знаем это $T=\frac{p^2}{2m}$ , поэтому среднее значение этого

⟨ Т ⟩ "=" ⟨ \frac{п^{2}}{2 м} ⟩ "=" \frac{⟨ п^{2} ⟩}{2 м}

$\langle T\rangle=\left\langle\frac{p^2}{2m}\right\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}$

Так как, в общем, $\langle p^2\rangle\neq\langle p \rangle^2$ , вот где мы заканчиваем.

Если вы хотите найти это значение, используя базис позиции, то мы вызываем QM:

⟨ Т ⟩ "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \int Ψ^{*} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} Ψ г Икс

$\langle T\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi\ dx$

Это связано с тем, что в основе позиции $P^2$ оператор $-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ .

Спасибо, это немного помогло мне, но я до сих пор на 100% не понимаю. Причина, по которой я думаю, что это меня смущает, заключается в том, что в случае со скоростью мы использовали ожидаемое положение. В случае импульса мы использовали ожидаемую скорость. Но в случае с кинетической энергией мы НЕ использовали ожидаемый импульс. Может быть, вы знаете какие-нибудь книги, где это подробно объясняется? :)
@jjepsuomi Какая часть? Как средние значения работают с функциями других переменных или как вы вычисляете эти средние значения? Имейте в виду, что суть вашего вопроса (почему $\langle p^2\rangle$ вместо $\langle p \rangle^2$ ) не о QM
@jjepsuomi Кинетическая энергия использует математическое ожидание квадрата импульса. Ответ явно показывает, как это работает: $\langle T\rangle=\left\langle\frac{p^2}{2m}\right\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}$ .
Спасибо, кажется, я понял, а тогда все было так просто х)
@jjepsuomi Извините, я не знал, что вы просто хотели проработать пример, показывающий, что $\langle p\rangle^2\neq\langle p^2\rangle$ для конкретного случая.
@AaronStevens, не беспокойтесь об этом, в любом случае спасибо за помощь! =) на самом деле это было не то, что я хотел, мое замешательство заключалось в том, что «почему не было ожидаемого значения $\langle p\rangle$ используется вместо $\langle p^2\rangle$ . я ожидал $\langle T \rangle$ быть определено с точки зрения $\langle p\rangle$ а не с точки зрения $\langle p^2\rangle$ потому что похожая схема, по-видимому, использовалась в случае $\langle v\rangle$ и $\langle p\rangle$ . Ваш интуитивный ответ (который также был изложен в ответе Альфреда Центавра) теперь дал мне понять, что $\langle p^2\rangle$ нужно, чтобы...
@jjepsuomi о, хорошо. Просто казалось, что вам нужен конкретный пример, поскольку вы приняли ответ Альфреда как правильный ответ. Я просто не хотел, чтобы вы подумали, что я не пытаюсь ответить на ваш вопрос, а просто подкидываю вам информацию :)
Нет проблем @AaronStevens =) Извините, я не собирался ухудшить ваш ответ за то, что он не принял его. Просто я новичок в этой теме, и я подумал, что должен принять ответ, который заключил сделку для меня :) Я не понял этого из вашего ответа, я думаю, возможно, потому что хотя тривиально результат следует из $T=p^2/2m$ , этот простой способ сделать это, казалось, странным образом отклонялся от шаблона того, как $\langle v\rangle$ и $\langle p\rangle$ были рассчитаны. Надеюсь, вы поняли, что я имею в виду :) Однако, если я предпочитаю принять ответ с наибольшим количеством голосов, то это меня вполне устраивает :)
@jjepsuomi Вы принимаете любой ответ, который хотите. Я не расстроен по этому поводу. Меня просто раздражают люди, которые просто вбрасывают информацию в ответ, когда информация бесполезна для ОП. Я просто хотел убедиться, что я не такой. Удачи на вашем образовательном пути.
Отлично, понял и согласен :) Большое спасибо и Вам всего наилучшего!

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

джепсуоми

Мартин С.

Биофизик

джепсуоми

джепсуоми

ZeroTheHero

Биофизик

Кнчжоу

Ответы (2)

Альфред Центавр

Биофизик

джепсуоми

Биофизик

Мартин С.

джепсуоми

Биофизик

джепсуоми

джепсуоми

Биофизик

джепсуоми

Биофизик

джепсуоми

Гамильтонианы, операторы рождения/уничтожения, рекурсия

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Почему общие волновые функции выражаются через собственные функции энергии?

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Что такое собственное энергетическое состояние?

Объединение двух одномерных гамильтонианов: как правильно построить новый гамильтониан?

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Что такое гамильтониан в «энергетической основе» простого гармонического осциллятора?

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 ​​\rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

джепсуоми

Мартин С.

Биофизик

джепсуоми

джепсуоми

ZeroTheHero

Биофизик

Кнчжоу

Ответы (2)

Альфред Центавр

Биофизик

джепсуоми

Биофизик

Мартин С.

джепсуоми

Биофизик

джепсуоми

джепсуоми

Биофизик

джепсуоми

Биофизик

джепсуоми

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?