Пространство модулей компактификаций тора

Question

Пространство модулей компактификаций тора

модули
двойственность
Физика
теория групп
струнная теория
компактификация

наименьшее действие

Я пытаюсь понять некоторые общие утверждения, сделанные в конспектах лекций Вафы, озаглавленных « Лекции о струнах и дуальностях » относительно тороидальных компактификаций ( arXiv:hep-th/9702201 ).

Вопрос 1. Сначала рассмотрим ~~гетеротическую (D = 10)~~ бозонную струну, компактифицированную на торе $T^d$ . На стр. 12 указано, что пространство неэквивалентных выборов левого и правого импульсов $(P_L, P_R)$ дается смежным классом

\frac{С О (д, д)}{С О (д) \times С О (д) \times О (д, д; Z)}

$\frac{SO(d,d)}{SO(d) \times SO(d) \times O(d,d;\mathbb{Z})}$

Я понимаю, что это в основном $\frac{SO(d,d)}{SO(d) \times SO(d)}$ далее модифицируется дискретной группой T-двойственности $O(d,d;\mathbb{Z})$ что соответствует бустингам Лоренца с целыми коэффициентами. Однако в основном тексте указано, что $O(d) \times O(d)$ преобразования, не изменяющие состояния строки. Строго говоря, разве мы не должны заниматься моддингом? $SO(d,d)$ к $O(d) \times O(d)$ вместо $SO(d) \times SO(d)$ ?

Вопрос 2 : Теперь рассмотрим $\mathcal{N} = 2$ теории о $T^d$ .

Следующее утверждение появляется на странице 13 о теориях типа IIA и типа IIB:

Для более общей компактификации на $T^d$ часть группы T-двойственности, которая не меняет местами две теории, равна $SO(d,d;\mathbb{Z})$ ; элементы Т-двойственности, находящиеся в $O(d,d;\mathbb{Z})$ но не в $SO(d,d; \mathbb{Z})$ поменяет местами IIA и IIB и, таким образом, не будет симметрией ни одного из них.

Значит ли это, что группа T-двойственности состоит из преобразований, которые переводят IIA в IIB (и наоборот), а также из преобразований, которые не переводят IIA в IIB и что первые соответствуют $O(d,d;\mathbb{Z}) \setminus SO(d,d;\mathbb{Z})$ ? Поэтому, когда в учебниках делаются такие заявления, как $IIA \leftrightarrow IIB$ под Т-двойственностью они действительно подразумевают под этим теоретико-множественное вычитание?

Вопрос 3 : Этот вопрос, несколько смущающий, больше касается обозначений, чем физики. На странице 13 тех же конспектов лекций появляется следующий абзац:

При компактификации струн типа II на торах скаляры, параметризованные смежным классом $SO(d,d)/SO(d) \times SO(d)$ соответствуют выборам метрики тора ( $d(d+1)/2$ степеней свободы) и антисимметричное поле $B_{ij}$ на торе( $d(d-)1/2$ степени свободы).

Здесь автор имеет в виду $\frac{SO(d,d)}{SO(d) \times SO(d)}$ или он имеет в виду $(SO(d,d)/SO(d)) \times SO(d)$ , т.е. $\frac{SO(d,d)}{SO(d)} \times SO(d)$ ? Это две совершенно разные вещи.

На самом деле, он часто ссылается на такие вещи, как $SO(5,5)/SO(5) \times SO(5)$ или $SO(5,5)/SO(5) \times SO(5) \times SO(5,5;\mathbb{Z})$ . Каков порядок, в котором они должны быть прочитаны/интерпретированы?

Дану

В ответ на вопрос 2:

O (d, d; Z) ∖ S O (d, d; Z)

$O(d,d;\Bbb Z)\setminus SO(d,d;\Bbb Z)$ не имеет особого смысла (поскольку вы не указали, в каком смысле вы считаете

S O

$SO$ как подмножество

O

$O$ , т.е. как он встроен). Соответствующие понятия здесь — это подгруппы, а не подмножества;

O ≅ Z_{2} ⋊ S O

$O\cong \Bbb Z_2\rtimes SO$ (изометрии сфер порождаются вращением плюс отражение), и ваш вопрос правильно сформулирован в терминах этих подгрупп. Я предполагаю, что это переводится как вопрос о том,

det = - 1

$\det=-1$ элементы - это то, что обменивает IIA и IIB, а

det = 1

$\det=1$ элементы сохраняют его.

Дану

В ответ на ваш последний вопрос кажется, что в данном контексте

S O / S O \times S O

$SO/SO\times SO$ следует интерпретировать как

S O / (S O \times S O)

$SO/(SO\times SO)$ .

наименьшее действие

Спасибо @Danu за ваш ответ. Разве не естественно думать, что ортогональная группа содержит специальную ортогональную группу как подгруппу? Разве не в том же смысле подразумевается в этой статье, когда он говорит: «Элементы Т-дуальности, которые находятся в

O (d, d; ℤ)

$O(d,d;\mathbb{ℤ})$ но не в

S O (d, d; ℤ)

$SO(d,d;\mathbb{ℤ})$ обменяет ИИС и МИБ»?

Дану

Смысл, подразумеваемый в статье, — тот, который я обрисовал выше — из приведенной мной декомпозиции вы можете видеть, что внутри O есть две копии SO; неестественно исключать одно из них, потому что взятие дополнений неестественно в контексте группы. Элементы О, не являющиеся элементами SO, — это в точности те, у которых

det = - 1

$\det=-1$ , и это более естественный способ выразить свое намерение.

Ответы (1)

Пространство модулей компактификаций тора

В ответ на вопрос 2: $O(d,d;\Bbb Z)\setminus SO(d,d;\Bbb Z)$ не имеет особого смысла (поскольку вы не указали, в каком смысле вы считаете $SO$ как подмножество $O$ , т.е. как он встроен). Соответствующие понятия здесь — это подгруппы, а не подмножества; $O\cong \Bbb Z_2\rtimes SO$ (изометрии сфер порождаются вращением плюс отражение), и ваш вопрос правильно сформулирован в терминах этих подгрупп. Я предполагаю, что это переводится как вопрос о том, $\det=-1$ элементы - это то, что обменивает IIA и IIB, а $\det=1$ элементы сохраняют его.
В ответ на ваш последний вопрос кажется, что в данном контексте $SO/SO\times SO$ следует интерпретировать как $SO/(SO\times SO)$ .
Спасибо @Danu за ваш ответ. Разве не естественно думать, что ортогональная группа содержит специальную ортогональную группу как подгруппу? Разве не в том же смысле подразумевается в этой статье, когда он говорит: «Элементы Т-дуальности, которые находятся в $O(d,d;\mathbb{ℤ})$ но не в $SO(d,d;\mathbb{ℤ})$ обменяет ИИС и МИБ»?
Смысл, подразумеваемый в статье, — тот, который я обрисовал выше — из приведенной мной декомпозиции вы можете видеть, что внутри O есть две копии SO; неестественно исключать одно из них, потому что взятие дополнений неестественно в контексте группы. Элементы О, не являющиеся элементами SO, — это в точности те, у которых $\det=-1$ , и это более естественный способ выразить свое намерение.

Косм · Answer 1

Что касается вопроса 1, вы говорите о бозонных струнах, а не о гетеротических, поскольку для гетеротических струн лево- и праводвижущие моды компактифицируются на $T^d$ и $T^{16+d}$ (или наоборот). Теперь для бозонных струн на $T^d$ пространство модулей должно быть

М "=" \frac{О (д, д; р)}{О (д; р) \times О (д; р) \times О (д, д; Z)}

$M=\frac{O(d,d;\mathbb{R})}{O(d;\mathbb{R})\times O(d;\mathbb{R})\times O(d,d;\mathbb{Z})}$ поскольку условие четности инвариантно относительно

O (d, d; R)

$O(d,d;\mathbb{R})$ преобразования и массовая формула

м^{2} "=" 2 (п_{л}^{2} + п_{р}^{2}) + . . .

$m^2=2(p_L^2+p_R^2)+...$ инвариантен относительно

O (d; R) \times O (d; R)

$O(d;\mathbb{R})\times O(d;\mathbb{R})$ преобразования (см. учебник Becker, Becker, Schwarz, стр. 270 и 283).

Вопрос 2. Как уже ответил Дану, в суперструнах типа II преобразования $O(d,d;\mathbb{Z})$ с определителем $-1$ переносит вас между IIA и IIB (поскольку они изменяют относительную хиральность фермионов), тогда как $det=+1$ преобразования являются симметриями внутри IIA и IIB отдельно (они не меняют хиральности). Таким образом, пространства модулей обеих теорий типа II (компактифицированных на торе) совпадают.

Что касается вопроса 3, верно частное по произведению.

PS Вы, наверное, уже знаете ответы, но я все равно оставлю это здесь.

Пространство модулей компактификаций тора

наименьшее действие

Дану

Дану

наименьшее действие

Дану

Ответы (1)

Косм

Эквивалентность двух миров, связанных Т-двойственностью

Вопросы о ландшафте в теории струн

Что такое М-теория? (невозмутимо)

Исчезновение модулей конденсата открытых струн

Что такое «гетеротическая компактификация струн»?

Могут ли 6 дополнительных измерений в теории суперструн быть продуктом двух многообразий?

Вопрос о пространстве модулей многообразия Калаби-Яу

f=maf=ma{f=ma}: двойственность между F-теорией и М-теорией?

Продвинутые темы теории струн

Классифицируются ли линзовые пространства через угол Вайнберга?