Вопрос о калибровочных преобразованиях нелинейной сигма-модели

Рассмотрим набор скалярных полей$\phi^i$($i = 1, 2, \ldots, N$), которые мы теперь хотели бы связать с набором калибровочных векторных полей$A_\mu^A$где$A = 1, 2, \ldots \text{dim}(G)$($G$вообще неабелева калибровочная группа). Рецепт (минимальная связь) для этого - обычная замена стандартной производной на калибровочно-ковариантную производную:

$$\partial_\mu \phi^i \longrightarrow D_\mu \phi^i \equiv \partial_\mu\phi^i - A_\mu^A K_A{}^i$$

где$K_A^i$являются векторами Киллинга, удовлетворяющими условию Киллинга$\mathcal{L}_{K_A}g_{ij} = 0$и алгебра$\mathcal{L}_{K_A}K_{B} = [K_A, K_B] = f_{AB}{}^C K_C$(здесь$f_{AB}{}^C$являются структурными константами алгебры Ли$G$, и$K_A \stackrel{\Delta}{=} K_A{}^i\partial_i$).

Бесконечно малое калибровочное преобразование задается выражением

$$\delta\phi^i = \Lambda^A K_A{}^i$$ $$\delta A_\mu^A = \partial_\mu \Lambda^A + f^A{}_{BC}A_\mu^B\Lambda^C$$

Параметры$\Lambda^A$являются произвольными функциями пространства-времени. Это все из книги Чекотти "Суперсимметричные теории поля". Для выдержки щелкните здесь .

Теперь автор утверждает

$$\label{eq:A}\delta D_\mu\phi^i = \Lambda^A(\partial_j K_A^i)D_\mu\phi^j + A_\mu^B\Lambda^C[K_B{}^j\partial_j K_C^i-K_C{}^i\partial_j K_B{}^i]-f_{BC}{}^A A_\mu^B \Lambda^C K_A^i = \Lambda^A(\partial_j K_A^i)D_\mu\phi^j \qquad \text{(#)}$$

Я не понимаю, как было получено это уравнение (первое равенство).

Если пространство-время обозначить$\Sigma$и обозначены координатами$x^\mu$, и целевое пространство (пространство, где$\phi^i$в прямом эфире) обозначается$\mathcal{M}$(поэтому индекс$i$маркирует координаты$\mathcal{M}$, то есть поля$\phi^i$), то я так понимаю$\delta\phi^i = \Lambda^A K_A^i$является диффеоморфизмом в целевом пространстве, и я ожидаю,

$$\delta K_A^i(\phi) \stackrel{?}{=} \Lambda^B \partial_B K^j \partial_j K_A^i - \partial_j(\Lambda^B K_B^i)K_A^j = \Lambda^B (f_{BA}{}^C K_C{}^i) - (\partial_j \Lambda^B)K_B^i K_A^j$$

где мы можем взять$\partial_j \Lambda^B = 0$потому что$\Lambda^B$(как параметр со значениями в алгебре Ли) не является функцией$\phi^i$с.

В книге Чекотти закон преобразования для$K_A^i$не дается. Однако в книге Томаса Ортина под названием «Гравитация и струны» (отрывок можно найти здесь ) закон преобразования для$K_A^i$(см. Приложение J, уравнение J.8, если вы хотите обратиться к книге)

$$\delta K_A{}^i = \Lambda^B K_B{}^j \partial_j K_A{}^i$$

это всего лишь первый термин («транспортный термин») того, что я написал выше.

Мой первый вопрос : почему закон преобразования для$K_A{}^i$содержат производную от параметра преобразования, учитывая, что параметр преобразования является локальным (в целевом пространстве), поскольку$K_A{}^i$вообще зависит от полей$\phi^1, \ldots, \phi^N$?

Мой второй вопрос связан с фактическим выводом уравнения (#): я поступил наивно, написав

$$\delta D_\mu\phi^i = \delta(\partial_\mu \phi^i - A_\mu^A K_A{}^i)$$

а затем принимая$\delta$в, используя законы преобразования$\phi^i$,$A_\mu^A$и$K_A{}^i$. Я ожидал получить (#), но я даже не получил первый термин таким образом. Что я делаю не так?