Является ли доказательство действительным, если его понимает только автор?

С неоинтуиционистской точки зрения, основанной на предположении Канта о том, что пространство и время являются аспектами человеческого мышления, а не реальности (независимо от того, следуете ли вы прямо за Брауэром , находя сомнительным любое отрицание), математика не является объективным описанием некоторого концептуального мира, это исследование общих человеческих интуиций и того, насколько они могут быть использованы путем их объединения. В этом смысле это старейшая ветвь рациональной психологии, если она вообще является наукой, а не привилегированной ветвью наук, которая оказывается «точной».

С этой точки зрения я бы сказал, что правильность — это, по сути, эмоция, чувство согласия с интуицией. Особенно в случае с математикой мы пытаемся выразить, как согласуется набор интуитивных представлений, а не какой-либо фактический факт.

Мы кодифицируем различные части математики, которые, как мы договорились, фиксируют интуицию в проверяемой форме. Но сама кодификация станет общественной нормой только в том случае, если она достаточно широко апеллирует к определенной культивируемой эмоциональной реакции.

Мы обязаны принимать комбинации уже проверенных вещей в новые вещи только потому, что чувствуем, что должны это делать, и потому, что мы согласились с основной логикой, дающей правила комбинации. Если у нас не может сложиться впечатление, что мы видели связи между объединенными вещами, мы не согласны.

Даже если кто-то может, мы пытаемся изолировать общие интуиции, поэтому с этой точки зрения мы хотим, чтобы достаточное количество людей взвешивало нас, чтобы поверить, что это не ошибочные или идиосинкразические примеры. Так что нет, доказательство должно быть проверено рядом людей и признано не только механически правильным, но и заслуживающим доверия.

Только радикальный кантианец, вроде Брауэра, может утверждать, что основные интуитивные представления не могут противоречить друг другу. И выбор рассматривать интуицию таким образом приводит к решению, что такие вещи, как отрицание и завершенная бесконечность, не являются интуитивными, даже если они продолжают появляться в упрощенных объяснениях. Это все еще интуиции, но они нуждаются в уточнении.

Тот факт, что, когда вы развиваете какую-то группу сильных интуиций достаточно далеко, они часто конфликтуют с другими, столь же сильными, не является опровержением этого понятия, а только его наиболее радикальной формой. Более поздние формы неоинтуиционизма действительно видят конфликт интуиций . И они смотрят на то, что происходит с математиками, бегущими по этим местам, как на доказательство того, что они правы в том, что математика на самом деле делает.

У нас есть, например, парадокс Рассела: «Содержит ли множество всех множеств, не содержащих самих себя, себя?» В этом мы можем видеть, что, когда мы соединяем их вместе, отрицание, универсальную квантификацию и вмещение приводят к чему-то нелогичному.

Но решение этой проблемы по-прежнему заключается в анализе интуитивных представлений, выборе между ними или замене их другими, более убедительными формулировками. Цермело и Френкель заменяют понятие необузданной универсальной квантификации исследованием того, что мы подразумеваем под созданием множества, Брауэр ограничивает отрицание тем, что может быть конструктивно подтверждено, Куайн и Лоувер референциально или мерологически перекраивают понятие вмещения, чтобы оно было направленным и вещи могут содержать себя только более тривиальным образом.

Таким образом, из этой резолюции мы получаем семена целых трех разделов математики: теории множеств, конструктивного анализа и теории категорий. Но какова была цель? Цель состояла в том, чтобы усовершенствовать ту или иную интуицию, чтобы ее можно было свободно комбинировать с другими. Это не доказательство того, что интуиция не находится в центре внимания математики, это свидетельство продолжающегося процесса исследования пространственной интуиции.

Не существует успешной области математики, которая не была бы или, по крайней мере, изначально не была обусловлена ​​необходимостью уточнения данного набора интуитивных представлений. Геометрия и все формы Анализа, даже неевклидова геометрия и функциональные пространства, работают исходя из наших взглядов на пространство: тот факт, что вы хотите использовать только часть комплекса интуитивных представлений и комбинировать их с другими вариантами, не мешает им быть вашими. фокус - и все многообразия являются локально евклидовыми по какой-то причине. Алгебра работает из-за необходимости уточнить наши идеи о разложении сложных механизмов на простые части. Теория групп касается не операторов, а классификации групп с помощью факторизации. Топология касается проблем того, что такое внутреннее и что такое граница, что-то, что интуитивно актуально для нас, даже если это никогда не происходит в природе. И т.д. и т.п.

Нам нравится притворяться, что все аксиоматизации одинаково верны, но на самом деле мы выбираем аксиомы, которые представляют интуиции, и когда они не подходят, или мы решаем, что интуиции, с которыми они в конечном итоге конфликтуют, сильнее или важнее, чем те, которые они моделируют, мы их меняем . И не смотреть на успехи разных сфер глупо. Мы не говорим: «Но вся эта неудачная физика — тоже физика», и утверждение формалистов о том, что случайные аксиоматизации, которые не фиксируют никакой релевантности и в конечном итоге просто умирают, являются математикой, по-прежнему столь же глупы.

« Язык, которого я не понимаю, — это не язык ». (Витгенштейн, MS 109)

Является ли доказательство действительным, если его понимает только автор?

Я так не думаю.

См. Юрий Манин, Курс математической логики для математиков (2010), стр. 45:

Доказательство становится доказательством только после социального акта «принятия его в качестве доказательства». Это так же верно для математики, как и для физики, лингвистики или биологии. Эволюция общепринятых критериев того, что аргумент является доказательством, — почти нетронутая тема в истории науки. Во всяком случае идеал того, что представляет собой математическое доказательство «неочевидной истины», остался неизменным со времен Евклида: мы должны приходить к такой истине из «очевидных» гипотез или уже доказанных утверждений, посредством серии явно описанных, «очевидно верных» элементарных выводов.

Таким образом, метод дедукции является методом математики по преимуществу .

[...] Каждое написанное доказательство должно быть одобрено и принято другими математиками, иногда несколькими поколениями математиков. Тем временем как результат, так и само доказательство подлежат уточнению и улучшению.

Это действительно интересный, открытый философский вопрос. С одной стороны, убедительность — важная часть доказывания, однако у нас есть логико-математические теории дедукции, которые устанавливают стандарты доказывания, и можно было бы подумать, что соблюдения этих стандартов должно быть достаточно. Вопрос особенно актуален, когда речь идет о компьютерных доказательствах: должны ли мы доверять им, когда никто их толком не понимает?

Я подозреваю, что когда кто-то просто убеждает, показывая, подразумевается, что в принципе может быть предоставлено более строгое доказательство, и поэтому оно убедительно. Но могут быть сюрпризы. С другой стороны, кто-то может найти действительное доказательство, но никого не сможет убедить в его достоверности. Но есть эпистемическая неопределенность: может быть, она где-то ошиблась. Таким образом, способность убеждать приносит эпистемическую уверенность. Но в конечном счете, я бы сказал, что кто-то все еще может быть прав, даже если никто не понимает (пока). Хотя я допускаю, что все потенциально сложнее, потому что можно было бы спросить: о чем именно этот человек говорит? (И имеет ли значение предмет или важна только структура доказательства?)

Вы можете прочитать эту статью на эту тему http://m-phi.blogspot.be/2015/08/book-review-john-p-burgess-rigor-and.html

я цитирую:

строгое доказательство — это такое доказательство, которое убеждает свою аудиторию в том, что существует формально строгое доказательство, предоставляя те шаги в формально строгом доказательстве, что это не просто рутина

Но в статье есть более интересные рассуждения.

Теоретически математическое доказательство представляет собой последовательность утверждений, где каждое утверждение является либо аксиомой, либо результатом объединения одного или нескольких предыдущих утверждений с использованием общепринятых правил. И последняя строка доказательства тогда принимается как «доказанное утверждение». Здесь нет необходимости в «понимании». Такое доказательство можно проверить механически.

К сожалению, это теория. На практике доказательство, созданное таким образом, вероятно, будет невероятно большим. Поэтому математики идут коротким путем. Они не используют огромную цепочку простых утверждений, но могут использовать выводы с невысказанным сообщением другим математикам, эффективно говоря: «Я знаю, что это не точное доказательство, но вы можете мне поверить, что я могу предоставить точное доказательство». если бы я хотел, но я не хочу тратить свое время и не ожидаю, что вам будет скучно до смерти, если вам придется это читать». А другие математики прочитают такой вывод, задумаются и скажут: «Я считаю, что вы правы». Если это сделает достаточное количество других математиков, то доказательство будет принято.

Но есть проблемы: другие математики могут быть недостаточно умны, чтобы принять какой-то вывод из доказательства. (Я загрузил копию доказательства Уайлса «Последней теоремы Ферма», и я не достаточно умен почти ни для чего в этом доказательстве.) Другие математики могли бы сказать: «Этот вывод слишком велик, чтобы его можно было принять. Его нужно разделить на более мелкие шаги, чтобы я мог проверить их правильность». А в худшем случае другие математики могут сказать: «Я считаю, что понимаю вывод, но я считаю, что он неверен». Это случилось с Уайлсом в первый раз, и ему пришлось кое-что исправить в первой версии своего знаменитого доказательства.

Добавим к этому, что автор доказательства явно предвзят, поэтому мы не можем поверить ему или ей на слово, что доказательство должно быть принято. Итак, если автор только говорит, что может понять доказательство и что оно правильное, то доказательство не может быть принято.

Оригинальный вопрос очень интересен. Более внимательное изучение покажет, что математическое доказательство не связано с проблемой остановки.

Математическое доказательство в конечном счете обращается к чувству — чувству математики, как выразился Рассел. У одних людей математические способности очень развиты, у других — умеренные, у третьих вообще нет. Большинство из тех людей, которых мы называем «чувствительными», вероятно, обладают этим чувством математики. Следующий анекдот может проиллюстрировать это:

A пригласил B, C, D и E на званый обед, но B не пришел.

А сказал: «Тот, кто должен был прийти, не пришел».

С встал и ушел.

Тогда А сказал: «Тот, кто не должен был уйти, ушел».

Д встал и ушел.

Затем Е сказал А: «Будь осторожен с тем, что говоришь. Люди могут обидеться».

Затем А. сказал: «Я говорил не о них».

Е встал и ушел.

C, D и E чувствительны; А нет. Для C, D и E существует сильное чувство, которое позволяет им «видеть», когда A говорит это, он также имеет в виду то. Вот почему Бертран Рассел говорит:

Что можно узнать с помощью дедукции? Возможно, если бы вы были достаточно умны, вы бы ничему не научились... Как только вы знаете таблицу умножения, у вас есть возможность умножать любые два числа, скажем, 24 657 и 35 746. Вы применяете правила и работаете. Но если бы вы были расчетливым мальчиком, вы бы «увидели» ответы, точно так же, как вы «видите» 2, а 2 равно 4.

Рассел, Бертран. «Искусство делать выводы». Искусство философствовать. Нью-Йорк: Философская библиотека, 1968. 42. Печать.

Чтобы доказать, что A подразумевает G, большинству людей нужны крошечные промежуточные шаги, чтобы «увидеть» обоснованность этого вывода; с другой стороны, небольшое количество людей может непосредственно «видеть» это следствие от А до G. Из этого следует, что здесь нет проблемы остановки.

Я не знаю точно, что это за смысл математики, но мне интересно, есть ли статьи на эту тему.

Is a proof valid if only one person understands it?

Если мы заменим «понять» на «вижу», возможно, что доказательство, понятное только одному человеку, все еще будет действительным: предположим, вы видите утверждение, написанное на рубашке одного из ваших одноклассников, но, по вашему запросу, в комнате больше никого нет. видит то, что видишь ты. По мере того, как приходит все больше людей, некоторые признают, что видят именно то, что видите вы, но они также не могут убедить тех, кто не видит на футболке никаких заявлений. Такого рода вещи случаются, и почти у всех был подобный опыт.

Возьмем, к примеру, доказательство «принципа доведения до абсурда». Исходя из принципа тождества:

(1) (П v П) ⇒ П

Тогда, заменив P на ~P, мы имеем

(2) (~P v ~P) ⇒ ~P

Тогда по определению материальной импликации имеем

(3) (П ⇒ ~П) ⇒ ~П

От (1) до (2) не требуется никакого высшего принципа, мы просто полагаемся на наши чувства. Как мы можем продолжать, если люди отрицают, что замена P на ~P в (1) приводит к (2)? Очевидно, мы не можем заменить P на Сократа, потому что у Сократа нет истинностного значения. Определенно существуют правила, регулирующие эту замену.

Лучшая статья о доказательстве Мотидзуки, которую я видел, — это статья Ивана Фесенко в Inference . Хотя многое из этого выше моего понимания, стоит процитировать некоторые выводы:

Теоретики моделей первыми отреагировали на [его работу]. Некоторые из теорем реконструкции могут быть поняты с точки зрения логической интерпретации. Концепция мультирадиальности может быть понята с точки зрения определимости .

Это неожиданно показывает, учитывая теоретико-числовое происхождение работы Мотидзуки, что первый интерес исходил от логиков (математических логиков - они отличаются от логиков в философском смысле). В то время как мультирадиальность является концепцией Мотидзуки, определимость является традиционной концепцией логики. Это показывает, как люди пытаются понять его новые концепции, сопоставляя их с теми, которые они уже знают.

Почему категории... эти вопросы поднимались в арифметической геометрии более 40 лет назад.

Категории — довольно недавнее математическое изобретение, появившееся в алгебраической топологии. Первая статья, опубликованная по категориям для разъяснения аксиоматики предмета, явно считалась последней. Недоброжелатели назвали это «абстрактной чушью». (Это богато исходит из предмета, который все считают абстрактным и чьи основные практики преследуют абстрактное.)

Здесь Фесенко ставит вопрос, зачем в арифметике полезны категории? Это потому, что арифметику можно интерпретировать геометрически, но для этого требуются категории и

это было сообщением, переданным Гротендиком, но работа Гротендика на самом деле не казалась манной небесной всем теоретикам чисел. Лишенные манны, они медленно переваривают [его работу].

Бывает.

И это произошло не просто так. Механизм работы Гротендика огромен — и в этом ее главная трудность . Например, в рамках проекта stacks было написано более трех тысяч страниц только для того, чтобы полностью объяснить работу Гротендика. Это колоссальный объем работы. Можно, конечно, понять нежелание теоретиков чисел, которые достаточно счастливы пастись на пастбищах ближе к их традиционной земле теории чисел и жевать более низко висящие плоды, требующие меньших усилий.

Таким образом, естественному электорату Мотидзуки нужно многое наверстать, прежде чем они хотя бы начнут переваривать его собственную работу, а это требует времени.

Фесенко заканчивает индоссаментом:

[Работа Мотидзуки] отличается по своей философии и основным идеям от всего, что нам известно из традиционной теории чисел. Это уже меняет математику, и по мере того, как все больше людей будут учиться и развивать [его работу], это будет продолжаться.

Таким образом, происходит долгое, а потому долгое, медленное увлечение его работой.

Чтобы ответить на ваш главный вопрос, если автор — единственный человек, понимающий свое доказательство, то является ли оно доказательством? Что ж, если автор прав в своем понимании, то это доказательство; но этого недостаточно, потому что это не помогает нам проверить правильность доказательства. Мы не можем проникнуть в его разум, чтобы понять , как он понял доказательство. Если бы мы только могли, доказательства было бы намного легче переваривать! Вместо этого все, что у нас есть, — это артефакт доказательства, текст доказательства. Ну, не все, поскольку математическое сообщество обладает определенным опытом, и можно поговорить с автором, чтобы помочь понять тактику и стратегию доказательства. Таким образом, доказательство также понимается как социально сконструированное.

Как уже отмечалось, большинство математических доказательств не являются полностью формальными. Для полностью формального доказательства мы можем определить корректность. Затем мы можем судить о том, правильно ли неформальное доказательство, по тому, можно ли его превратить в формальное доказательство. Принятие другими математиками является сильным сигналом того, правильно ли это в этом смысле, но это не надежный сигнал.

Есть и другие проблемы; если я «докажу» результат, сформулировав некоторую лемму, а затем утверждаю, что лемма очевидна, а из теоремы очевидно следует, я могу быть прав как в лемме, так и в ее следствии, но все же меня можно обоснованно обвинить в том, что я не выполнил всю работу полностью. .

Наконец, есть отдельный вопрос полезности . Если мое доказательство верно, но я никого еще им не убедил, то, вероятно, от меня мало толку. И даже если доказательство, по общему мнению, является правильным, более проницательное доказательство часто все же полезно.

«Доказательство», которое кто-то считает действительным , должно приниматься как действительное, /если только/ до тех пор, пока кто-то другой не сможет его опровергнуть ! Это особенно верно, если лицо, делающее заявление, хорошо известно и считается «экспертом» по данному вопросу.

Не существует такого понятия, как действительное или недействительное доказательство. Доказательство — это последовательность символов на (математическом) языке, которая связывает предпосылки с выводами. Последовательность может содержать или не содержать ошибок. Невозможно «убедиться», что последовательность не содержит ошибок. Если человек А докажет теорему X, то некто Б может попросить: «Докажите, что ваше доказательство не содержит ошибок!». Если A предоставляет доказательство того, что его доказательство X не содержит ошибок, B может также попросить доказать, что это доказательство второго порядка не содержит ошибок, и так далее, до бесконечности.