Существуют ли уединенные волны в теории ϕ4ϕ4\phi^4 в 3+1 измерениях?

Решение для солитона в$\phi^4$модель дается путем создания поля$\phi$которое зависит только от x и t и не зависит ни от каких других пространственных измерений. Это классическая одномерная задача.

Когда параметр квадрата массы отрицателен , появляется солитон. Это решение уравнения

$$\partial_x^2 \phi + \phi - \phi^3 = 0$$

Где x масштабируется для поглощения$\mu^2$, и$\phi$масштабируется для поглощения$\lambda$. Решение получено с использованием версии закона сохранения энергии, которая работает здесь, потому что приведенное выше дифференциальное уравнение второго порядка выглядит точно так же, как движение частицы в потенциальном

$$V(\phi) = {1\over 2} \phi^2 - {1\over 4} \phi^4$$

Обратите внимание, что это инвертированный потенциал поля, появляющийся в лагранжиане. Решение для$\phi$имеет х-сохранение х-энергии, потому что если назвать х «временем», то уравнение второго порядка превращается в законы Ньютона для одномерного движения. Сохраняемое количество равно

$${1\over 2} (\partial_x \phi)^2 + V(\phi) = E$$

Для солитонного решения$\phi$должен перейти в вакуумный раствор при$x=\pm\infty$. Два вакуума — это два минимума исходного потенциала, места, где

$$\phi - \phi^3 = 0$$

или

$$\phi = \pm 1$$

Потенциал при этих значениях поля дает энергию, потому что градиент поля должен стремиться к нулю на бесконечности. Это делает x-энергию 1/4 на бесконечности.

Затем закон сохранения x-энергии говорит вам о градиенте поля

$$(\partial\phi(x))^2 + \phi^2 - {1\over 2} \phi^4 = 1/2$$

или это

$${1\over (\phi^2-1) } (\partial_x \phi) = \pm t+C$$

или

$$\tanh^{-1} \phi = t+C$$

Что дает стандарт$\phi^4$солитон доменной стенки

$$\phi(x) = \tanh(t+C)$$

Это решение представляет собой частицу в 1d (1+1), линию в 2d (2+1), доменную стенку в 3d (3+1) и вообще d-1-мерный объект в d измерениях.

Я хотел бы дать вам другое решение вашего уравнения, которое было недавно опубликовано (см. здесь ). Уравнение

$$\partial_x^2\phi+\mu_0^2\phi+\lambda\phi^3=0$$

допускает точное решение

$$\phi(x)=\pm\sqrt{\frac{2\mu^4}{\mu_0^2 + \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,\sqrt{\frac{-\mu_0^2 + \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}{-\mu_0^2 - \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}}\right)$$

будучи sn эллиптической функцией Якоби,$\theta$и$\mu$две константы интегрирования и при условии, что

$$p^2=\mu_0^2+\frac{\lambda\mu^4}{\mu_0^2+\sqrt{\mu_0^4+2\lambda\mu^4}}.$$

Это имеет вид дисперсионного соотношения и$p$является квазиимпульсом, как это происходит в твердом состоянии с квазичастицами в сильно взаимодействующей среде.

Как указывалось ранее, это не солитонное решение.