Что такое ∂t∂t\partial_t и ∂µ∂µ\partial^\mu?

Я читаю страницу Википедии для уравнения Дирака :

р "=" ф * ф

......

Дж "=" − я ℏ 2 м ( ф * ∇ ф − ф ∇ ф * )

с сохранением тока вероятности и плотности, следующих из уравнения Шредингера:

∇ ⋅ Дж + ∂ р ∂ т "=" 0.

Тот факт, что плотность является положительно определенной и конвективной согласно этому уравнению неразрывности, означает, что мы можем проинтегрировать плотность по некоторой области и положить сумму равной 1, и это условие будет поддерживаться законом сохранения. Эта особенность должна быть свойственна и правильной релятивистской теории с током плотности вероятности. Теперь, если мы хотим сохранить понятие конвективной плотности, мы должны обобщить выражение Шредингера для плотности и тока, чтобы пространственные и временные производные снова входили симметрично относительно скалярной волновой функции. Нам разрешено сохранить выражение Шредингера для тока, но мы должны заменить плотность вероятности на симметрично сформированное выражение

р "=" я ℏ 2 м ( ψ * ∂ т ψ − ψ ∂ т ψ * ) .

который теперь становится 4-й компонентой пространственно-временного вектора, а вся 4-текущая плотность имеет релятивистски ковариантное выражение

Дж мю "=" я ℏ 2 м ( ψ * ∂ мю ψ − ψ ∂ мю ψ * )

  1. Что именно ∂ т и ∂ мю ?

  2. Являются ли они тензорами?

  3. Если да, то как они определяются?

Ответы (2)

∂ т ≡ ∂ ∂ т и ∂ мю ≡ г мю ν ∂ ∂ Икс ν "=" ( ∑ ν "=" 0 3 г мю ν ∂ ∂ Икс ν ) мю "=" 0 3 являются дифференциальными операторами. ∂ мю формально контравариантна (верхний индекс) и подчиняется соответствующим законам преобразования. ∂ т имеет меньший индекс и является (с точностью до постоянного множителя) компонентой формально ковариантного оператора ∂ мю с помощью ∂ 0 "=" 1 с ∂ т , что, вообще говоря, не равно ∂ 0 , нулевая компонента ∂ мю .

Дифференциальный оператор ∂ мю известен как градиент, который выводит векторные поля из потенциальных функций. Градиент не является естественной операцией на произвольных многообразиях и доступен только при наличии метрики. Его двойной ∂ мю ≡ ∂ ∂ Икс мю с другой стороны , является естественной операцией, соответствующей дифференциалу г , переводящие потенциалы в 1-формы (ковекторные поля).

В качестве примечания, ∂ т также можно понимать как локальное векторное поле, поскольку одно из внутренних определений векторов на многообразиях - через их производные по направлению. В математической литературе принято записывать основу касательного пространства как { ∂ ∂ Икс мю } и его двойственное пространство как { г Икс мю } .

Два балла: (1) ∂ мю не соответствует внешней производной г , так как вам нужно, чтобы он был антисимметричным по индексам; (2) в целом ∂ мю является базисом векторного поля в локальных координатах. (Я видел только «локальное векторное поле» для «векторного поля, определенного на одном участке координат, и никаких других».)
@AlexNelson: re (1), это действительно было немного небрежно с моей стороны, но это справедливо для случая, который я прямо упомянул г : Ом 0 ( М ) "=" С ∞ ( М ) → Ом 1 ( М ) "=" Г ( Т * М ) , ф ↦ г ф "=" ∂ мю ф г Икс мю ; относительно (2): любой элемент локального базиса является векторным полем, определенным на соответствующем участке координат, поэтому я не вижу никакого противоречия
re (2) моя точка — локальное векторное поле — это не то же самое, что векторное поле на многообразии, выраженное в локальных координатах, поскольку последнее является глобальным .
@AlexNelson: выражения координат для (глобальных) векторных полей являются локальными векторными полями - полное векторное поле задается выражениями координат для набора покрывающих участков

В зависимости от используемых обозначений ∂ мю может быть тензором, относящимся к четырехвектору ( ∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) . Однако в контексте приведенного выше уравнения вы можете рассматривать как ∂ т и ∂ мю как скаляры, относящиеся к частичному дифференцированию на Икс т и Икс мю соответственно.

Точное определение ∂ т неоднороден в литературе, иногда устанавливается ∂ 0 , иначе к 1 с ∂ 0 . Однако с с "=" 1 , это редко имеет значение.

Обратите внимание, кроме того, что время соответствует либо нулевой, либо четвертой составляющей пространства-времени.

Да, компоненты по отдельности выглядят как скаляры, но это не так! Они преобразуются как тензоры . Конкретно ∂ мю преобразуется как контравариантный тензор ранга 1, и ∂ т преобразуется необычным образом (но не как скаляр! ).
Что такое ∂t∂t\partial_t и ∂µ∂µ\partial^\mu?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v