Тензор (контравариантный ранга 2) представляет собой вектор векторов. Если у вас есть вектор, это 3 числа, которые указывают в определенном направлении. Это означает, что они вращаются друг в друге, когда вы выполняете вращение координат. Так что 3 компоненты вектора$V^i$превратиться в

$$V'^i = A^i_j V^j$$

при линейном преобразовании координат.

Тензор представляет собой вектор из трех векторов, которые вращаются друг в друга при вращении (а также вращаются как векторы --- порядок двух операций вращения не имеет значения). Если вектор$V^i$где я бегу от 1-3 (или 1-4, или от чего угодно до чего угодно), тензор$T^{ij}$, где первый индекс помечает вектор, а второй индекс помечает компонент вектора (или наоборот). При повороте координат T преобразуется как

$$T'^{ij} = A^i_k A^j_l T^{kl} = \sum_{kl} A^i_k A^j_l T^{kl}$$

Где я использую соглашение о суммировании Эйнштейна, согласно которому повторяющийся индекс суммируется, так что среднее выражение действительно означает сумму в крайнем правом углу.

Тензор ранга 3 представляет собой вектор тензоров ранга 2, тензор ранга четыре представляет собой вектор тензоров ранга 3, и так далее до произвольного ранга. Обозначение$T^{ijkl}$и так далее со столькими верхними индексами, сколько у вас ранга. Закон преобразования - один A для каждого индекса, что означает, что каждый индекс преобразуется отдельно как вектор.

Ковариантный вектор, или ковектор, представляет собой линейную функцию от векторов к числам. Это полностью описывается коэффициентами$U_i$, а линейная функция

$$U_i V^i = \sum_i U_i V^i = U_1 V^1 + U_2 V^2 + U_3 V^3$$

где в первом выражении используется соглашение Эйнштейна, которое просто означает, что если одно и то же имя индекса встречается дважды, один раз ниже и один раз выше, вы понимаете, что должны суммировать индекс, и вы говорите, что индекс сокращен. Наиболее общая линейная функция представляет собой некоторую линейную комбинацию трех компонентов с некоторыми коэффициентами, поэтому это общий ковектор.

Закон преобразования для ковектора должен быть обратной матрицей

$$U'_i = \bar{A}_i^j U_j$$

Умножение матриц просто в соглашении Эйнштейна:

$$M^i_j N^j_k = (MN)^i_k$$

И определение$\bar{A}$(обратная матрица) приводит к тому, что скалярный продукт$U_i V^i$остается неизменным при преобразовании координат (вы должны это проверить).

Ковариантный тензор ранга 2 является ковектором ковекторов и так далее до сколь угодно высокого ранга.

Вы также можете сделать тензор ранга m,n$T^{i_1 i_2 ... i_m}_{j_1j_2 ... j_n}$, с m верхними и n нижними индексами. Каждый индекс преобразуется отдельно как вектор или ковектор в зависимости от того, вверх он или вниз. Любой нижний индекс может быть свернут с любым верхним индексом в тензорном произведении, так как это инвариантная операция. Это означает, что тензоры ранга m,n можно рассматривать разными способами:

• Как наиболее общая линейная функция от m ковекторов и n векторов в числа
• Как наиболее общая линейная функция от ковариантного тензора ранга m в контравариантный тензор ранга n
• Как наиболее общая линейная функция от контравариантного тензора ранга n в ковариантный тензор ранга m.

И так далее для количества интерпретаций, экспоненциально растущего с рангом. Это предпочтительное определение математиков, которое не делает акцент на свойствах преобразования, а скорее делает упор на задействованные линейные карты. Эти два определения идентичны, но я счастлив, что первым выучил определение физики.

В обычном евклидовом пространстве в прямоугольных координатах вам не нужно различать векторы и ковекторы, потому что матрицы вращения имеют обратную, которая является их транспонированием, а это означает, что ковекторы и векторы преобразуются одинаково при поворотах. Это означает, что у вас могут быть только индексы вверх или только вниз, это не имеет значения. Вы можете заменить верхний индекс на нижний, сохраняя компоненты неизменными.

В более общей ситуации отображение между векторами и ковекторами называется метрическим тензором$g_{ij}$. Этот тензор берет вектор V и создает ковектор (традиционно пишется с тем же именем, но с более низким индексом).

$$V_i = g_{ij} V^i$$

И это позволяет вам определить понятие длины

$$|V|^2 = V_i V^i = g_{ij}V^i V^j$$

это также понятие скалярного произведения, которое можно извлечь из понятия длины следующим образом:

$$2 V\cdot U = |V+U|^2 - |V|^2 - |U|^2 = 2 g_{\mu\nu} V^\mu U^\nu$$

В евклидовом пространстве метрический тензор$g_{ij}= \delta_{ij}$это дельта Кронекера. Это похоже на единичную матрицу, за исключением того, что это тензор, а не матрица (матрица переводит векторы в векторы, поэтому у нее есть один верхний и один нижний индекс --- обратите внимание, что это означает, что она автоматически переводит ковекторы в ковекторы, это умножение ковектор на транспонированную матрицу в матричной нотации, но нотация Эйнштейна включает и расширяет матричную нотацию, поэтому лучше всего думать обо всех матричных операциях как о сокращении некоторых сокращений индексов).

Исчисление тензоров важно, потому что многие величины естественным образом являются векторами векторов.

• Тензор напряжения: если у вас есть скалярная сохраняющаяся величина, плотность тока заряда является вектором. Если у вас есть векторная сохраняющаяся величина (например, импульс), текущая плотность импульса представляет собой тензор, называемый тензором напряжений.
• Тензор инерции: для вращательного движения твердого объекта угловая скорость является вектором, а угловой момент - вектором, который является линейной функцией угловой скорости. Линейное отображение между ними называется тензором инерции. Только для высокосимметричных тел тензор пропорционален$\delta^i_j$, так что они всегда указывают в одном направлении. Это исключено из курсов элементарной механики, потому что тензоры считаются слишком абстрактными.
• Аксиальные векторы: каждый аксиальный вектор в теории сохранения четности можно рассматривать как антисимметричный тензор ранга 2 путем сопоставления с тензором$\epsilon_{ijk}$
• Представления с высоким спином: теория представлений групп непонятна без тензоров и относительно интуитивно понятна, если вы их используете.
• Кривизна: кривизна многообразия — это линейное изменение вектора, когда вы проводите его по замкнутому контуру, образованному двумя векторами. Это линейная функция трех векторов, которая производит вектор и, естественно, является тензором ранга 1,3.
• метрический тензор: это обсуждалось ранее. Это главный ингредиент общей теории относительности.
• Дифференциальные формы: это антисимметричные тензоры ранга n, то есть тензоры, обладающие тем свойством, что$A_{ij} =-A_{ji}$и аналогичная вещь для более высокого ранга, где вы получаете знак минус для каждой перестановки.

В общем, тензоры являются основным инструментом для представления групп, и они нужны вам для всех аспектов физики, поскольку симметрия занимает центральное место в физике.

Уже есть много ответов, надеюсь, я смогу сделать это еще более ясным.

Тензоры являются обобщением линейных преобразований.

Тензор - это то, что принимает$m$вектор и делает$n$векторы из него.

The $n+m$— порядок (или ранг) тензора.

Их тип обозначается$(n,m)$(n: выходные векторы, m: входные векторы)

Когда тензор принимает 0 векторов, это означает, что он вычисляет что-то из скаляра (или является константой), если тензор создает 0 векторов, он производит скаляр.

Некоторые примеры тензоров по типу:

• (0,0): скаляр, просто число.
• (1,0): один вектор.
• (2,0): бивектор
• (1,1): Линейное преобразование.
• (0,2): скалярное произведение двух векторов.
• (1,2): перекрестное произведение двух векторов в 3D.
• (1,3): тензор кривизны Римана (если вы интересуетесь общей теорией относительности, вам это понадобится.)

Тензоры могут быть описаны с помощью$n+m$размерный массив чисел. Таким образом, к элементам тензора можно получить доступ, используя$n+m$индексы.

Например, линейное преобразование является тензором 2-го порядка.

Доступ к элементам многомерного тензора можно получить по индексу, у матрицы, очевидно, 2 индекса.

Теперь немного об обозначениях. Элементы тензора обычно имеют несколько индексов, некоторые верхние индексы и некоторые нижние. Нижние индексы относятся к входным векторам, верхние индексы — к выходным векторам. Примечание: верхние индексы не имеют ничего общего с показателями степени!

Таким образом, тензор линейного преобразования будет выглядеть так:$L_j^i$.

Вы выполняете линейное преобразование (также известное как вычисление элементов результирующего вектора) следующим образом:

$b^i = \displaystyle\sum_j L_j^i a^j$

Итак, предположим, что вы находитесь в 3D и умножаете матрицу 3 × 3 на вектор-столбец. В этом случае верхний индекс относится к строкам, а нижний — к столбцам матрицы.$i$а также$j$работает от 1 до измерения, в котором вы находитесь (обычно 3).

Вы можете связать эти линейные преобразования следующим образом:

$c^k = \displaystyle\sum_i M_i^k \displaystyle\sum_j L_j^i a^j$

Эйнштейн заметил, что в этих формулах суммирования индекс под знаком суммы встречается ровно дважды. Так что его можно удалить. Таким образом, предыдущие два выражения будут выглядеть так:

$b^i = L_j^i a^j$

$c^k = M_i^k L_j^i a^j$

Что очень похоже на матричные формулы, которые вы используете в линейной алгебре. Верхний индекс убивает нижний индекс во время вычисления, в то время как одинокие индексы остаются нетронутыми.

Таким образом, вы можете умножить две матрицы на тензоры следующим образом:

$T_j^k = M_i^k L_j^i = \displaystyle\sum_i M_i^k L_j^i$

И, наконец, кросс-произведение с тензорами будет выглядеть так:

$r^k = C_{ij}^k a^i b^j$

The $C$представляет собой массив чисел 3 × 3 × 3, умноженный на вектор, и обычная матрица, умноженная на другой вектор, даст окончательный вектор.

Скалярное произведение на языке тензоров будет выглядеть так:

$r = D_{ij} a^i b^j = \displaystyle\sum_{i,j} D_{ij} a^i b^j$

Где$D_{ij}$является единичной матрицей.

Теперь вики-статья о тензорах должна быть более понятной.

Надеюсь, это вызовет у кого-то ага момент.

В контексте физики наиболее ярким описанием, которое я нашел, является то, что тензор — это обобщенная величина , чьи алгебраические/аналитические свойства не зависят от используемой системы координат*.

Теперь традиционный способ представления обобщенной величины - это линейная комбинация базисных векторов или скаляр. Например, импульс может быть представлен как$p_x\mathbf{\hat{i}} + p_y\mathbf{\hat{j}} + p_z\mathbf{\hat{k}}$. Если вы измените координаты, скажем, пассивным вращением, компонент$p_\alpha$могут измениться, и, конечно, базисные векторы изменятся, но импульс не изменится именно потому , что изменяются и базисные векторы, и компоненты. Вы можете себе представить, насколько важно для физической величины обладать этим свойством. Таким образом, тензоры служат естественным математическим объектом для теоретической физики.

На самом деле, это всего лишь математическая формализация почти всех физических величин, которые вы уже должны были изучить . Полезность этой формализации выходит на первый план, как только вы начинаете изучать такие вещи, как теория относительности, которая полностью посвящена тому факту, что физические законы не зависят от очень общего класса линейных преобразований координат.

Это поведение, возможно, лучше всего отражает фундаментальная теорема о тензорах, где любой тензор, все компоненты которого равны$0$в одной системе координат имеет свои компоненты как$0$во всех остальных также.

Это означает, что если уравнение, включающее тензоры, истинно в одной системе координат, оно верно и во всех остальных.

Эта теорема, насколько я могу судить, следует из одной из многих аксиоматических схем определения тензоров. Некоторые фреймворки начинают с представления тензоров как многолинейных карт. Многие начинают с определения ковариантных/контравариантных тензоров как мультииндексированных наборов компонентов, следующих определенным правилам преобразования.

Однако конечный результат одинаков. Вы получаете что-то, что может быть представлено набором компонентов, и чьи алгебраические/аналитические свойства не меняются независимо от того, какую систему координат вы используете.

Важно отметить, что тензоры — это не просто наборы компонентов. Фактически, некоторые обработки тензоров полностью бескомпонентны. Например, геометрическая алгебра представляет тензорные (думаю, обобщенные геометрические) операции в терминах чего-то, что называется геометрическим произведением. И все же изучаемые вещи по-прежнему являются тензорами именно потому, что их свойства не зависят от того, «как вы на них смотрите».

* Под системой координат я подразумеваю «типичную», к которой можно перейти с помощью обратимых линейных преобразований.

Существует несколько эквивалентных способов определения и понимания тензоров, и стоит понимать все различные точки зрения и отношения между ними. Точка зрения, которую я нахожу наиболее интуитивной и хорошо мотивированной, — это точка зрения на тензоры как на полилинейные функции .

Тензор — это полилинейная функция, которая принимает на вход набор векторов и выводит скаляр. Под полилинейностью подразумевается, что функция является линейной для каждого входа независимо .

Можно представить полилинейные функции как локальные аппроксимации нелинейных функций, зависящих от нескольких переменных, где аппроксимация конструктивно учитывает тот факт, что имеется несколько входов из нескольких пространств. Точно так же, как когда вы увеличиваете масштаб нелинейной функции одного вектора, он выглядит приблизительно линейным, если вы увеличиваете масштаб функции многих векторов, он выглядит примерно полилинейным.

Если выбраны наборы базисных векторов, которые охватывают каждое входное векторное пространство, то полилинейная функция полностью определяется своим действием на все возможные комбинации базисных векторов. Результаты применения полилинейной функции ко всем комбинациям базисных векторов могут быть организованы в многомерный массив чисел, и этот массив можно рассматривать как представление полилинейной функции относительно заданных базисов.

Если изменить основания, очевидно, что элементы в представлении многомерного массива изменятся, но предсказуемым образом. Точный способ изменения элементов массива при изменении баз известен как «правила преобразования». На многих уроках физики ящики с числами, подчиняющиеся этим правилам преобразования, представлены как определение тензора, что является вполне законным определением, но может вызвать раздражение и немотивированность, если не объяснить многолинейный контекст, из которого берутся эти правила.

Фиксация некоторых входных данных полилинейной функции (в терминологии языка программирования «закрытие» этих входных данных) дает полилинейную функцию в остальных входных данных. Представление массива индуцированной полилинейной функции в остальных входных данных может быть вычислено путем выполнения определенной суммы, включающей исходный массив и векторы координат для фиксированных входных векторов. Этот процесс формирования новой полилинейной функции путем фиксирования определенных входных данных известен как тензорное сжатие.

Поскольку фиксирование всех входных данных тензора, кроме одного, дает линейную функцию в оставшихся входных данных, и поскольку линейные функции в векторном пространстве могут быть отождествлены с элементами в двойственном к этому векторному пространству, тензор можно в равной степени рассматривать как полилинейную функцию, которая принимает на вход меньше исходного количества векторов и создает (двойной) вектор на выходе. Затем этот вывод можно использовать в качестве одного из входных данных для другого тензора, который имеет входное пятно для вектора в двойственном пространстве, которое было получено на выходе. В более общем смысле можно построить сложные сети, в которых различные входные данные для тензора переинтерпретируются как выходные данные, а затем эти выходные данные используются в качестве входных данных для других тензоров в сети (см. Графическое обозначение Пенроуза ).

Если к каждой точке поверхности (или многообразия) присоединить другой тензор, совокупность всех этих тензоров представляет собой тензорное поле (точно так же, как при присоединении векторов ко всем точкам на многообразии получается векторное поле). Обычный частный случай - это когда входные векторные пространства, которые образуют область определения тензора в точке, являются копиями касательного пространства и кокасательного пространства.коллектора в этой точке. В этом случае удобные для использования базы могут быть сформированы из касательных (или котангенсных) векторов в каждой точке, связанной с некоторыми ранее существовавшими координатными картами для многообразия. Если изменить параметризацию многообразия, координатные карты изменятся, поэтому базы для тензорного поля в каждой точке изменятся, поэтому представления массивов тензоров в каждой точке изменятся (но предсказуемым образом..).

Поскольку тензорные поля возникают в физике гораздо чаще, чем одиночные тензоры, часто для обозначения тензорного поля используют термин «тензор». Эта терминология работает, потому что большинство терминов для операций с тензорами также можно использовать для тензорных полей, при том понимании, что операция выполняется одновременно со всеми тензорами в поле, поточечно.

Надеюсь, это поможет с интуицией. Эта перспектива медленно формировалась в течение многих лет борьбы за то, чтобы самому понять тензоры из первых принципов; переходя от полного замешательства в начале к тензорам, которые теперь кажутся естественными и ясными. Этот пост - то, что я хотел бы, чтобы кто-то сказал мне в начале.

Тензоры — это объекты с обычно кратными индексами, обобщение векторов и матриц, обладающие определенными свойствами преобразования при смене базиса. В разных традициях они вводятся по-разному, с разными обозначениями.

Вы можете найти запись «Как связаны матрицы и тензоры?» в главе B8 моего часто задаваемых вопросов по теоретической физике , имеющую отношение к распутыванию некоторых связанных проблем.

Вот что А.Зи говорит о тензоре из своей книги Эйнштейн Гравитация в двух словах (в твердом переплете)

Тензор — это то, что преобразуется подобно тензору.

Давным-давно после курса по теории групп ко мне подошел студент, который впоследствии стал выдающимся физиком конденсированных сред, и спросил: «Что такое тензор?» Я сказал ему, что тензор — это то, что преобразуется подобно тензору . Когда я столкнулся с ним много лет спустя, он потчевал меня следующей историей. На выпускном его отец, возможно, все еще переживающий изрядную сумму, которую он заплатил престижному частному университету, в котором учился его сын, спросил его, какие знания ему больше всего запомнились за четыре года обучения в колледже. Он ответил: «Тензор — это то, что преобразуется подобно тензору».

(Этот ответ был первоначально опубликован для более нового вопроса, заданного 26 октября 2018 года, который позже был отмечен как повторяющийся вопрос. Этот новый вопрос был конкретно о контексте динамики вращения. Я переместил свой ответ сюда, чтобы другие посетители искали для ответа, который специфичен для этого контекста.)

В контексте динамики вращения вектор$v$это нечто, компоненты которого$v_i$преобразовывать под вращениями, как

$$v_i\mapsto\sum_j R_{ij}v_j$$ куда$R$является матрицей вращения. Тензор (например, тензор момента инерции) — это нечто, компоненты которого$I_{ij}$преобразовывать под вращениями, как $$I_{ij}\mapsto\sum_{k,\ell} R_{ik}R_{j\ell}I_{k\ell}.$$ Более конкретно, это$2$-тензор индекса. Вектор — это$1$-тензор индекса. В общем,$N$-тензор индекса есть величина с$N$индексы (конечно), которые преобразуются при вращении в соответствии с шаблоном, показанным выше, с одним$R$за индекс.

Простой пример тензора с$3$индексы$T_{ijk}=a_i b_j c_k$, куда$a,b,c$являются векторами. Это автоматически правильно преобразуется при вращении из-за способа$a,b,c$трансформировать.

Тензоры часто имеют специальные симметрии. Например, тензор момента инерции$I_{ij}$симметричен:$I_{ij}=I_{ji}$.

Такие симметрии не влияют на общее правило преобразования тензора при поворотах, но могут привести к интересным совпадениям. Например, соответствующее обобщение углового момента на$D$-мерное пространство представлено антисимметричной$2$-тензор индекса,$L_{ij}=-L_{ji}$. Из-за антисимметрии это имеет$D(D-1)/2$независимыми компонентами, а именно с$i<j$. (Те, у кого$j>i$определяются антисимметрией, а с$i=j$равны нулю по антисимметрии.) В физически релевантном случае$D=3$,$L_{ij}$бывает, есть$3$компоненты, как вектор. Еще более интересно (и менее тривиально) то, что эти три компонента преобразуются подобно трем компонентам вектора при вращении, хотя общее правило преобразования тензора с двумя индексами включает две матрицы вращения вместо одной! Вот почему большинство формулировок динамики вращения представляют такие вещи, как угловой момент, угловая скорость и крутящий момент, как если бы они были векторами, хотя их правильнее было бы представлять как антисимметричные тензоры с двумя индексами.

Собственно, даже в$D=3$, есть один явный признак того, что такие величины, как угловая скорость (и т. д.), на самом деле не являются векторами: они преобразуются как векторы, когда$R$обычное вращение, но не тогда, когда$R$является отражением . К этой ситуации относятся такие термины, как «аксиальный вектор» или «псевдовектор». Направление угловой скорости нельзя изменить при зеркальном отражении (поскольку двухиндексный тензор преобразуется с двумя множителями$R$, поэтому знаки минус сокращаются), но направление допустимого вектора (тензор с одним индексом) можно изменить на противоположное с помощью зеркального отражения.

Более тонкий признак того, что угловой момент должен быть представлен как антисимметричный тензор с двумя индексами (вместо вектора = тензор с одним индексом), заключается в том, как он построен. Например, объект с импульсом$p$(вектор) на конце безмассового вращающегося стержня длиной$r$(вектор) обычно записывается как$L=r\times p$или что-то в этом роде (знак является условным). Перекрестное произведение имеет смысл только в трехмерном пространстве. Это действительно должно быть написано$L_{ij}=r_i p_j-r_j p_i$вместо. В трехмерном пространстве это имеет тот же список независимых компонентов, что и перекрестное произведение, но двухиндексное тензорное представление имеет смысл в любом количестве измерений.

В других контекстах, таких как теория относительности, определение аналогично, но с группой преобразований Лоренца (в специальной теории относительности) или всеми преобразованиями координат (в общей теории относительности) вместо группы вращений.

Я думаю, что групповые представления — самый естественный способ понять тензоры. Следующие части можно читать практически независимо. 2-й самый актуальный.

Почему тензоры в физике могут сбивать с толку

Я думаю, что основной источник путаницы заключается в том, что$X$-тензоры всегда, всегда, всегда включают в себя структуру, которую в литературе по физике не слишком беспокоит раскрытие. Под структурой я подразумеваю закон трансформации , под теми преобразованиями, которые подразумеваются$X$(Это должно быть$X\in\{\text{"Lorentz" or 4},\text{"Euclidean" or 3},\dots\}$).

Печально известный вопрос «Моя матрица здесь ранга 2?$X$-тензор?» можно ответить только «ну, это зависит». Потому что как мы можем проверить, трансформируется ли ваша матрица как тензор , если вы не говорите нам, как трансформируется ваша матрица .

Какой-то элемент$A$векторного пространства (заметим, что любой$X$-тензор живет в векторном пространстве: добавление$X$-тензоры составляют$X$-тензор и умножение на$\lambda\in\mathbb{R}$также) может быть подтвержден как тензор, только если вы укажете следующие данные:

$$Data:=\{A \text{ how it looks in frame }1,A \text{ how it looks in frame } 2,\dots,A \text{ how it looks in last frame}\}.$$ Тогда мы можем сравнить с$X$-tensor и может решить, именно так преобразуется наш тензор или нет. Если да, A по определению. ан$X$-тензор, иначе нет.

Тензор как элемент представления группы

Исправить группу$X$(Это должно быть$X\in\{\text{lorentz trafos},\text{rotations},\dots\}$в прямом соответствии с первым абзацем). Напомним, что$n$- тусклый. представительство$X$по опр. групповой гомоморфизм ($\text{GL}$все обратимые матрицы)

$$\rho:X\rightarrow\text{GL}(\mathbb{R},n),\quad g\mapsto\underbrace{(T\mapsto g.T)}_{\text{matrix is a function}}\quad (T\in\mathbb{R}^n\text{ for "tensor"}).$$ Если это новое, подумайте об акции »$g.$" из$g$как матрица. Напомним, что гомоморфизм («равная структура») означает только $$\rho(g\cdot h)=\rho(g)\rho(h)\quad\text{i.e.}\quad (g\cdot h).T=g.(h.T)\;\forall T\in\mathbb{R}^n\tag{*}$$ где в первом$=$на левой это$X$групповая операция , а справа это$\text{GL}_n$, то есть умножение матриц. Я напишу три эквивалентных предложения в разных обозначениях, объясняющих , что такое$X$-тензор :

1. Это$T\in\mathbb{R}^n$на котором$g\in X$действует как$g.T$
2. Это$T\in\mathbb{R}^n$который трансформируется под$g\in X$в качестве$g.T$
3. это объект$T$который трансформируется под$g\in X$как$T\rightarrow g.T$

Обратите внимание, что вы можете найти много таких$\rho$(для одного$X$и один$n$), так что$\rho$значит физик? Это скрыто в некоторой номенклатуре и обозначениях, в том числе: в ранге, независимо от того, находится ли индекс вверх или вниз, говоря спинор вместо тензора. Примеры :

1. $X=\text{SO}(3)=\text{rotations in }3\text{ dim.}$, ранг 1 : Ранг$1$3-тензор$\vec{v}\in\mathbb{R}^3$является элементом основного респ. из$\text{SO}(3)$. Это самый простой повтор. в качестве$R\in \text{SO}(3)$действует как (читай$\equiv$как «был определен как» и$:=$как "теперь определяется как") $$\rho(R)(v)\equiv R.\vec{v}:=R\vec{v}$$ т.е. умножением матриц. (На этом, казалось бы, тавтологическом определении стоит остановиться! Выполняется ли (*)? Это должно быть.) Это то, что люди в школе называют вектором , это стрелка с тремя числами, «которые вращаются друг в друге,…». Все, что делает вектор, это то, что он вращается фундаментальным образом. Все 3-тензоры строятся на этом представлении, например...
2. $X=\text{SO}(3)=\text{rotations in }3\text{ dim.}$, классифицировать$k>1$: Ранг$k>1$3-тензор расширяет это поведение до$k$индексы, где каждый индекс должен быть умножен на$g=(R_{ij})$, например$T$это$k=2$3-тензор тогда и только тогда $$\rho(g)(T)\equiv g.T = g.(T_{ij}):=(R_{ik}R_{jl}T_{kl})\text{ (repeated indices summed from 1..3)}.$$ В таком случае,$n=3^2=9$это тусклый. 2 -тензорного представления . Если вы дочитали до этого места, вам обязательно стоит проверить, что одноповторный. требование (*) для данного действия выполнено! Обратите внимание, что это просто удобство$3^2$числа в квадратной матрице. Пишу это как$(T_{11},T_{23},T_{13},T_{31},..)$остается 3-тензором ранга 2, если изменить действие$g$соответственно. (Почему он остается один? Потому что ( *) все еще доволен!)
3. $X=\text{some Lorentz group}$: различные варианты респ. имеют самые разные, вообще сверхважные, приложения в физике. Фундаментальный респ. (действуя аналогично эксп. 1, но в этом случае$n=4$) состоит из контравариантных 4-векторов $(x^\mu)$с$\mu=0,..3$суммируется следующим образом (без каких-либо знаков метрики или около того). Еще 4d респ. получается для траффика Лоренца$g=\Lambda=(\Lambda^\mu_\nu)$по $$\rho(g)(x)\equiv g.(x_\mu):=((\Lambda^{-1})_\mu^\nu x_\nu)=\Lambda^{-1T}x$$ (умножение матриц в последнем термине) , называемое двойственным представлением , которое содержит все ковариантные 4-векторы. Некоторые комментарии по этому поводу:

• Проверьте еще раз (*), если хотите, или хотя бы проверьте, что только что$\Lambda^{-1}$вместо того, чтобы дополнительно транспонировать как$\Lambda^{-1T}$в последний срок не будет предоставлять респ. И наоборот, простое транспонирование без инвертирования не дает репутации. либо!
• Необходимость транспонирования$\Lambda$Вот почему иногда люди называют ковариантные векторы векторами-строками . Вероятно, это не так сложно, как вы думаете: записи вектора- столбца суммируются с одной строкой матрицы умножения.$\Lambda^{-1}$и записи вектора- строки с одним столбцом матрицы. Здесь$\Lambda^{-1}$транспонируется, а затем умножается на$x$матричным умножением. Так$x$записи суммируются с каждым из$\Lambda^{-1}$колонки . _ Отсюда и нижний индекс$(x_\mu)$. Место индекса говорит вам, какое представительство. автор хочет рассмотреть!
• В$\text{SO}(3)$двойная респ. буквально то же самое, что и фундаментальное представительство. потому что$\text{SO}(3)\ni R=R^{-1T}$по деф. из$\text{SO}(3)$. Так что не нужно различать верхние и нижние индексы! Между ковариантными и контравариантными 3-тензорами любого ранга просто нет разницы . По ходу написания этого я задавался вопросом, почему бы не взять $$R.\vec{v}:=\vec{v}^TR^T$$ ($R\in \text{SO}(3)$и матричное умножение справа) в качестве «индекса нижнего этажа» респ. К счастью, это вообще не работает — попробуйте записать$S.(R.\vec{v})$увидеть это.

4. $X=\text{some Lorentz group}$: Лоренц респ. теория обширна ! Взгляните на этот подраздел общих повторений. Например.

Итог: всякий раз, когда t-слово падает, пожалуйста, знайте, что оно должно включать две вещи: группу$X$и респ. из этого$\rho$.

Позвольте мне теперь ответить на вопрос ОП,

Что такое тензор?

Тензор — это все, что лежит в некотором представлении некоторой группы.

Вывод закона преобразования из обозначений

На языке физики реального мира вряд ли когда-либо будет задано точное поведение преобразования, т.е. повторение, при котором трансформируется физическая величина. Но это очень часто понимают. Давайте проиллюстрируем это в специальной теории относительности:

Начнем с 4- тензора ранга 1,$x^\mu$. Мы знаем по обозначениям, что это то, что есть, а именно$(t,x,y,z)$, поэтому мы выводим его поведение преобразования при повышении$\Lambda$, а именно$x^\mu\rightarrow\Lambda^\mu_\nu x^\nu$. Ковариантная версия вроде$x_\mu\rightarrow(\Lambda^{-1})^\sigma_\mu x_\sigma$. Теперь стандартный вопрос будет "Как$x^\mu x_\mu$(индексы в сумме 0,..3 без знаков) преобразуются при$\Lambda$?». И из первой части моего ответа вы могли бы сказать: « Ты должен рассказать мне, как он трансформируется, не обманывай меня!».

Но физики имеют в виду нечто очень естественное, когда пишут композиции тензоров: сохраняется известный закон преобразования частей. Каждый объект, который вы пишете, должен иметь определенный закон преобразования, чтобы естественным образом определить преобразование композита как преобразование каждого компонента в отдельности . Следовательно, ответ на вопрос будет

$$x^\mu x_\mu \rightarrow (\Lambda^\mu_\nu x^\nu)\; ((\Lambda^{-1})^\sigma_\mu x_\sigma) = x^\nu \delta^\sigma_\nu x_\sigma = x^\mu x_\mu.$$ Таким образом, комбинируя основное и двойное повторение. группы Лоренца, как$x^2:=x^\mu x_\mu$производит объект, преобразующийся в тривиальное представление (и, следовательно, определяется как 4- скаляр ).

Мягкая эквивалентность тензорам в дифференциальной геометрии

Я буду небрежен насчет разницы тензорных полей и тензоров. Позвольте мне также быть кратким и только уточнить, где в ранге$(p,q)$тензор$T$как определено

$$T=T^{\mu_1\dots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}\frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\dots\frac{\partial}{\partial x^{\mu_p}}dx^{\nu_1}\dots dx^{\nu_q}\in TM^{\otimes p}\otimes T^*M^{\otimes q}$$ можно прочитать закон преобразования. В приведенном выше разложении на координаты неявно заданной карты/системы координат$x$на патче$U\subset M$, преобразование считывается из определения (ко)векторных полей$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$а также$dx^{\nu}$. А$(1,0)$тензор (т.е. касательный вектор)$V$определяется независимо от диаграммы как производная по классу эквивалентности кривых (здесь я не буду приводить определение). Итак, для двух разных графиков$x,y$мы получаем два разных набора координат, потому что $$V^\nu \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=V=\bar{V}^\mu\frac{\partial}{\partial y^{\mu}}$$ это действительно красивое уравнение, показывающее, почему дифференциальная геометрия является языком, на котором должна быть сформулирована общая теория относительности. Гениальный способ определения касательного вектора как производной по направлению вдоль кривой приводит к объекту$V$который корректно определен без указания системы координат ! В GR мы редко имеем дело с этими абстрактными объектами, мы всегда берем кадр и записываем координаты. Но имея в виду, что есть абстрактная вещь, из которой мы получаем координаты, уже говорит нам, что она выполняет свойства тензорного преобразования, потому что мы вычисляем поведение преобразования, а не проверяем его. Мы вычисляем его из приведенного выше как $$\bar{V}^\mu=\frac{\partial y^\mu}{\partial x^{\nu}}V^\nu.$$ Аналогично, ковекторное поле преобразуется с обратным транспонированием, $$\omega_\nu dx^{\nu}=\omega=\bar{\omega}_\mu dy^{\mu}\quad\Rightarrow\quad\bar{\omega}_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial y^{\mu}}\omega_\nu.$$ Если мы поместим в наш атлас$M$, т.е.$\exists\Lambda:\Lambda=(\frac{\partial y^\mu}{\partial x^{\nu}})\;\forall\text{ charts }x,y$тогда$V$лежит в основе и$\omega$в двойственном представлении группы Лоренца.

Следовательно, каждый тензор в смысле дифференциальной геометрии действительно лежит в некотором представлении некоторой группы (группы преобразований координат с фундаментальным и двойственным представлением), но я, честно говоря, не уверен, верно ли и обратное. Например, представитель спинора. заведомо нереализуема, если$M$принимается за наше пространство-время, но вы можете найти и другие$M$(например, спиновый пучок), чтобы реализовать спинор как касательный (ко)вектор, но это выходит за рамки моей области знаний.

Спасибо, что прочитали этот чудовищный ответ! :)

Тензор — это обобщение понятия скаляров и векторов. Тензор ранга 0 является скаляром (у него$3^0$компетентен), а тензор ранга 1 — это вектор (который имеет$3^1$составные части). В общем случае тензор ранга$n$имеет$3^n$составные части.

См. http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf для хорошего введения.

Мой очень простой ответ - это всего лишь одна из многих ситуаций, когда тензор удобен при описании сил, действующих на тело ... однако они используются почти везде в физике ... это всего лишь один ПРОСТОЙ пример.

Кубическое тело движется в воздухе и испытывает сопротивление движению, перпендикулярному его траектории. Эта нормальная сила может возникать на любой СТОРОНЕ куба. ИЛИ, если куб стоит неподвижно, на него действует давление атмосферы, давление можно разложить на нормальные силы с каждой стороны.

Теперь есть сила СДВИГ вязкого воздуха, который цепляется за верхнюю часть куба, и сопротивление деформирует верхнюю часть куба. Эта поперечная сила действует на стороны, параллельные движению движущегося куба. Это может произойти ДЛЯ КАЖДОЙ параллельной поверхности.

Тензоры удобны, когда ВСЕ возможности действительно возможны и имеют место. Затем идут приемы суммирования сил. Вот к чему вся причудливая теноровая математика выше.

Один великий профессор гидромеханики сказал мне, что тензоры следует использовать только тогда, когда мы хорошо понимаем силы и/или систему. Обычно, изучая что-то новое, мы начинаем с каждого измерения отдельно и утомительно прорабатываем всю математику... затем, когда мы знаем, что происходит, можно использовать тензоры.

Тензор - это многомерный вектор в разговорном языке.

Когда изменения в одном направлении влияют на другое.

В ньютоновской механике мы предполагаем, что все силы, скорости и т. д. взаимно ортогональны.$\Rightarrow$взаимно независимы.

$$F=F_x\vec i + F_y\vec j +F_z\vec k$$

$F_x\vec i . F_y\vec j =0$поскольку$\vec i . \vec j =0$Всякий раз, когда мы применяем некоторую силу, мы разделяемся на компоненты и вычисляем сеть, сделанную как нулевую, если компоненты вносят нулевой вклад в заданном направлении.

То есть сила, приложенная в одном направлении, не будет иметь никакого действия в направлении, перпендикулярном ему.

В то время как некоторые физические величины, такие как давление, приложенное в одном направлении, могут оказывать влияние и в других направлениях. Соответствующая направленная величина является тензором напряжений.

Если мы нажмем на шарик в одном направлении, мы увидим расширение в других направлениях, которые также взаимно перпендикулярны.

Если мы натолкнем сплошной куб на стену, он не поднимется, в то время как воздушный шар поднимется вверх. Это простая аналогия, позволяющая различить вектор и тензор.

Любое изменение x-компоненты тензора напряжений имеет свои эффекты, отражающиеся и в направлениях yz.

$$σ = \begin{pmatrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13}\\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33}\end{pmatrix}$$

То же самое и с моментом инерции.

Здесь мы по-прежнему имеем дело со следствиями причины по другим направлениям независимо.

Другими словами, мы применяем эффекты в направлениях y, z независимо друг от друга.

Следовательно, напряжение, момент инерции являются тензорами второго ранга.

Т.е. одновременно мы могли соединить только 2 пространственных измерения.

Леви-Чивита — это тензор третьего ранга, который мы используем в угловом моменте.

$$[L_i, L_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} L_k$$

Здесь порядок всех трех i, j, k определяет значение/знак функции$\epsilon_{ijk}$.

В электродинамике и релятивистской механике мы также можем встретить тензоры ранга 4.

Старый вопрос, предлагающий новое понимание. В приведенном ниже описании представлен аспект тензоров, который может помочь в их интуитивном понимании. Для формального определения и других объяснений, пожалуйста, посмотрите другие ответы.

Тензоры в физике и математике имеют две разные, но связанные между собой интерпретации — как физические объекты и как отображение преобразований.

С точки зрения физического объекта тензор можно интерпретировать как нечто, что объединяет различные компоненты одного и того же объекта вместе, не добавляя их вместе в скалярном или векторном смысле сложения . Например

1. Если у меня есть 2 г кальция и 3 г кальция вместе, я сразу же получаю 5 г кальция - это скалярное сложение, и мы можем воспринимать полученное вещество.
2. Если я двигаюсь со скоростью 5i м/с и 6j м/с одновременно, я двигаюсь со скоростью (5i+6j) м/с. Это сложение векторов, и опять же, мы можем понять результирующий объект.
3. Если у меня есть монохроматические пиксели, встроенные в куб, которые излучают свет под разными углами, мы можем определить пиксели на единицу площади ($\chi$) в кубе как$\begin{bmatrix} \chi_x&\chi_y&\chi_z \end{bmatrix}$куда$\chi_x$— количество пикселей, излучающих свет перпендикулярно площади в плоскости yz, и так далее.
   Эта сущность,$\chi$, имеет три компонента, и, записав$\chi$, мы пишем три компонента вместе. Кроме того, три компонента не могут быть добавлены как скаляр или вектор , и мы не можем визуализировать$\chi$как единое целое.

$\chi$выше приведен пример тензора. Хотя мы можем не видеть$\chi$как единую воспринимаемую вещь его можно использовать для извлечения или понимания совершенно понятных объектов, например, для данной области.$\vec{s}$, мы можем получить общее количество пикселей, излучающих свет перпендикулярно ему, по уравнению:

$$\begin{bmatrix}\chi_x&\chi_y&\chi_z \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}s_x\\s_y\\s_z \end{bmatrix}$$

Заменим в этом примере монохроматические пиксели на RGB, и мы получим что-то очень похожее на тензор напряжений (тензор ранга 2), а вектор тяги (силу на единицу площади для заданной единицы площади n) можно получить по формуле уравнение:

$$\textbf{T}^{(\textbf{n})} = \begin{bmatrix} T_x\\T_y\\T_z \end{bmatrix}^{(n)} = \textbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\ \sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\ \sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}n_x\\n_y\\n_z \end{bmatrix}$$

Хотя трудно визуализировать тензор напряжений в целом, каждый из его компонентов говорит нам что-то очень дискретное , например$\sigma_{xx}$говорит нам, какая сила в направлении x испытывается единицей площади поверхности, перпендикулярной направлению x (в данной точке твердого тела). Полный тензор напряжений,$\sigma$, сообщает нам общую силу, которую будет испытывать поверхность с единицей площади, обращенная в любом направлении. Как только мы фиксируем направление, мы получаем вектор тяги из тензора напряжений , или, хотя я не имею в виду буквально, тензор напряжений коллапсирует к вектору тяги.

Обратите внимание, что возможность интерпретации тензоров как единого физического объекта или чего-то, что имеет визуальный смысл, не равна нулю. Например, векторы являются тензорами, и мы можем визуализировать большинство из них (например, скорость, электромагнитное поле).

Здесь мне нужно было сделать это кратким, но больше пояснений по этому поводу можно найти здесь .