Тензор против тензорных плотностей

Question

Тензор против тензорных плотностей

горькая мания

В настоящее время я читаю книгу Шона Кэрролла « Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности» . По Кэрроллу, символ

г {Икс}^{0} \land г {Икс}^{1} \land \dots \land г {Икс}^{н - 1},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1},$

хотя это похоже на $n$ -form, является не тензором, а тензорной плотностью. Однако я не понимаю, как это может быть, поскольку, как я понимаю, этот символ по определению является антисимметричным тензором. Чтобы понять это, я проработал случай двух измерений:

г {Икс}^{1} \land г {Икс}^{2} "=" г {Икс}^{1} \otimes г {Икс}^{2} - г {Икс}^{2} \otimes г {Икс}^{1} .

$dx^1 \wedge dx^2 = dx^1 \otimes dx^2 - dx^2 \otimes dx^1.$

Если я возьму это и преобразую в координаты $y^1$ и $y^2$ , я нахожу это

г {Икс}^{1} \otimes г {Икс}^{2} - г {Икс}^{2} \otimes г {Икс}^{1}

$dx^1 \otimes dx^2 - dx^2 \otimes dx^1$

\to (\frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{1}} г у^{1} + \frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{2}} г у^{2}) \otimes (\frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{1}} г у^{1} + \frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{2}} г у^{2}) - (\frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{1}} г у^{1} + \frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{2}} г у^{2}) \otimes (\frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{1}} г у^{1} + \frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{2}} г у^{2})

$\rightarrow (\frac{\partial x^1}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^1}{\partial y^2} dy^2) \otimes (\frac{\partial x^2}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^2}{\partial y^2} dy^2) - (\frac{\partial x^2}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^2}{\partial y^2} dy^2) \otimes (\frac{\partial x^1}{\partial y^1} dy^1 + \frac{\partial x^1}{\partial y^2} dy^2)$

"=" (\frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{1}} \frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{2}} - \frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{2}} \frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{1}}) г у^{1} \otimes г у^{2} - (\frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{1}} \frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{2}} - \frac{\partial {Икс}^{1}}{\partial у^{2}} \frac{\partial {Икс}^{2}}{\partial у^{1}}) г у^{2} \otimes г у^{1} .

$= (\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2} - \frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}) dy^1 \otimes dy^2 - (\frac{\partial x^1}{\partial y^1}\frac{\partial x^2}{\partial y^2} - \frac{\partial x^1}{\partial y^2}\frac{\partial x^2}{\partial y^1}) dy^2 \otimes dy^1.$

Я вижу, что присутствует определитель якобиана изменения координат, который характерен для тензорной плотности, но я не понимаю, как это подразумевает, что 2-форма на самом деле не тензор, а скорее тензорная плотность. Может ли кто-нибудь помочь мне согласовать это?

Ответы (3)

Тензор против тензорных плотностей

Эрик Йоргенфельт · Answer 1

Прежде всего: позвольте мне направить вас к этому ответу. Это не ответ на ваш вопрос, а просто чтобы убедиться, что мы на одной волне. Тогда обратите внимание, что

г {Икс}^{0} \land г {Икс}^{1} \land \dots \land г {Икс}^{н - 1} "=" ϵ_{я_{1} я_{2} \dots я_{н}} г {Икс}^{я_{1}} г {Икс}^{я_{2}} \dots г {Икс}^{я_{н}},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} = \epsilon_{i_1i_2\ldots i_n}dx^{i_1}dx^{i_2}\cdots dx^{i_n},$ где

ϵ

$\epsilon$ обозначает символ Леви-Чивиты. Зная трансформацию символа Леви-Чивиты, это, по сути, то, что вы показали в двух измерениях, расширенных до

n

$n$ -мерный случай (в качестве альтернативы, взгляните на ответ @mas для явного доказательства этого факта). Тензоры могут быть определены как подчиняющиеся, например

Т_{я_{1} я_{2} \dots я_{н}} "=" Λ_{я_{1}}^{{Дж}_{1}} Λ_{я_{2}}^{{Дж}_{2}} \dots Λ_{я_{н}}^{{Дж}_{н}} Т_{{Дж}_{1} {Дж}_{2} \dots {Дж}_{н}},

$T_{i_1i_2\ldots i_n} = \Lambda^{j_1}_{i_1}\Lambda^{j_2}_{i_2}\cdots\Lambda^{j_n}_{i_n} T_{j_1j_2\ldots j_n},$ для некоторого преобразования кадра

Λ

$\Lambda$ , что должно прояснить, что утверждение Кэрролла верно, если вы считаете символ эквивалентным символу Леви-Чивиты. Однако, если вы считаете

d x^{0} \land d x^{1} \land \dots \land d x^{n - 1}

$dx^0\wedge dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}$ быть

n

$n$ -форме нет оснований ожидать, что преобразованная величина должна быть

d y^{0} \land d y^{1} \land \dots \land d y^{n - 1}

$dy^0\wedge dy^1\wedge\cdots\wedge dy^{n-1}$ . Я думаю, что проще всего объяснить это, заметив, что мы можем переписать символ Леви-Чивиты как

ϵ_{я_{1} я_{2} \dots я_{н}} "=" н! {дельта}_{[я_{1}}^{0} {дельта}_{я_{2}}^{1} \dots {дельта}_{я_{н}]}^{н - 1},

$\epsilon_{i_1i_2\ldots i_n} = n!\delta^0_{[i_1}\delta^1_{i_2}\cdots\delta^{n-1}_{i_n]},$ где

[i_{1} i_{2} \dots i_{n}]

$[i_1i_2\ldots i_n]$ обозначает антисимметризацию по индексам. Таким образом, мы можем видеть, что компоненты символа Леви-Чивиты скрывают антисимметризацию дельт Кронекера, и вместо этого в иллюстративных целях мы можем рассмотреть 1-форму, локально определяемую компонентами

δ_{i}^{0}

$\delta^0_i$ , т.е.

d x^{0}

$dx^0$ .

Дело в том, что $\Lambda^i_j\delta^0_i = \Lambda^0_j \neq \delta_j^0$ , что на самом деле говорит о том, что мы не можем считать компоненты фиксированными $\delta^0_i$ в любом кадре: 1-форма $dx^0$ не эквивалентен символу $dx^0$ ; только для очень ограниченного набора координат, $dx^0 = dy^0$ , а именно те, где $x^0 = y^0 + C$ , для некоторой постоянной $C$ ; то есть $x^0$ просто $y^0$ под каким-то переводом. Соответственно

г {Икс}^{0} \land г {Икс}^{1} \land \dots \land г {Икс}^{н - 1} "=" г у^{0} \land г у^{1} \land \dots \land г у^{н - 1},

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^{n-1} = dy^0 \wedge dy^1 \wedge \cdots \wedge dy^{n-1},$ тогда и только тогда, когда преобразование координат имеет определитель Якоби, равный единице.

Я думаю, именно об этом Кэрролл хочет предупредить читателя, но мне кажется, что это запутанный способ сделать это. Хотя, признаюсь, книгу не читал.

Позвольте мне проверить мое понимание на примере. Предположим, у меня есть объект $D$ который я определяю, говоря, что в любых координатах он принимает вид $dx^1 \wedge dx^2$ . Например, в $y$ координаты он принимает вид $dy^1 \wedge dy^2$ , И в $z$ координаты он принимает вид $dz^1 \wedge dz^2$ . $D$ конечно, не тензор, но все же "выглядит" как 2-форма. Предостерегает ли Кэрролл от того, чтобы думать об этом объекте как о тензоре?
@bittermania Насколько я могу судить, да. В качестве альтернативы он дает вам знать, как объект, который выглядит так в некоторых координатах, трансформируется при изменении координат.
@ErikJörgenfelt эээ... в чем разница между одной формой $dx^0$ и символ $dx^0$ ? я не знаю значения для $dx^0$ кроме одной формы, двойственной к $\partial_0$ или, что то же самое, дифференциальная / внешняя производная функции координат $x_0$ .

масса · Answer 2

Поскольку и произведение клина, и символ Леви-Чивиты полностью антисимметричны, мы можем переписать $dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1}$ как

\begin{matrix} (1) & г {Икс}^{0} \land г {Икс}^{1} \land . . . \land г {Икс}^{н - 1} "=" \frac{1}{н!} {\tilde{ϵ}}_{{мю}_{1} {мю}_{2} \dots {мю}_{н}} г {Икс}^{{мю}_{1}} \land г {Икс}^{{мю}_{2}} \land . . . \land г {Икс}^{{мю}_{н}} \end{matrix}

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1} =\frac{1}{n!}\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n}\tag{1}$ Там, где есть суммирование по повторяющимся индексам в соответствии с соглашением суммирования Эйнштейна и

ϵ_{{мю}_{1} {мю}_{2} \dots {мю}_{н}} "=" \sqrt{| г |} {\tilde{ϵ}}_{{мю}_{1} {мю}_{2} \dots {мю}_{н}}

$\epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}=\sqrt{{|g|}}\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}$

Теперь при преобразованиях координат $x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}$ , $\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}}$ остаются прежними, а основа одной формы трансформируется как

\begin{matrix} (2) & г {Икс}^{{мю}^{'}} "=" \frac{\partial {Икс}^{{мю}^{'}}}{\partial {Икс}^{мю}} г {Икс}^{мю} \end{matrix}

$\mathrm{d}x^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\mathrm{d}x^{\mu}\tag{2}$ Использование (2) в (1) дает

\begin{array}{rcl} ϵ_{{мю}_{1} {мю}_{2} \dots {мю}_{н}} г {Икс}^{{мю}_{1}} \land г {Икс}^{{мю}_{2}} \land . . . \land г {Икс}^{{мю}_{н}} & "=" & ({\tilde{ϵ}}_{{мю}_{1} {мю}_{2} \dots {мю}_{н}} \frac{\partial {Икс}^{{мю}_{1}}}{\partial {Икс}^{{мю}_{1}^{'}}} \dots \frac{\partial {Икс}^{{мю}_{н}}}{\partial {Икс}^{{мю}_{н}^{'}}}) г {Икс}^{{мю}_{1}^{'}} \land г {Икс}^{{мю}_{2}^{'}} \land . . . \land г {Икс}^{{мю}_{н}^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n} & = & \left(\tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n}\frac{\partial x^{\mu_{1}}}{\partial x^{\mu'_{1}}}\cdots\frac{\partial x^{\mu_{n}}}{\partial x^{\mu'_{n}}}\right)dx^{\mu'_{1}}\wedge dx^{\mu'_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu'_n}\notag\\ \end{eqnarray}$ Поэтому

\begin{array}{rcl} (3) & {\tilde{ϵ}}_{{мю}_{1} {мю}_{2} \dots {мю}_{н}} г {Икс}^{{мю}_{1}} \land г {Икс}^{{мю}_{2}} \land . . . \land г {Икс}^{{мю}_{н}} & "=" & | \frac{\partial {Икс}^{мю}}{\partial {Икс}^{{мю}^{'}}} | {\tilde{ϵ}}_{{мю}_{1}^{'} {мю}_{2}^{'} \dots {мю}_{н}^{'}} г {Икс}^{{мю}_{1}^{'}} \land г {Икс}^{{мю}_{2}^{'}} \land . . . \land г {Икс}^{{мю}_{н}^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \tilde{\epsilon}_{\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_n} dx^{\mu_{1}} \wedge dx^{\mu_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu_n} & = & \left|\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\right|\tilde{\epsilon}_{\mu'_{1}\mu'_{2}\cdots\mu'_n}dx^{\mu'_{1}}\wedge dx^{\mu'_{2}} \wedge ... \wedge dx^{\mu'_n}\tag{3} \end{eqnarray}$ Выражение (3) доказывает утверждение, что

d x^{0} \land d x^{1} \land . . . \land d x^{n - 1}

$dx^0 \wedge dx^1 \wedge ... \wedge dx^{n-1}$ – тензорная плотность.

Как видно из двумерного случая, OP использует соглашение, согласно которому произведение клина равно $k!$ раз больше соглашения, которое вы используете. Возможно, было бы более поучительно следовать соглашению OP. Кроме того, $\epsilon$ следует понимать символ Леви-Чивита в вашем (1), который не превращается в символ Леви-Чивита при общем преобразовании координат. Это не проблема в том смысле, что вы на самом деле трансформируете клиновой продукт, а не компоненты, но утверждение, что вы это делаете, вводит в заблуждение.
Спасибо, что указали на ошибку, теперь вы можете проверить ответ.
Я думаю, что лучший способ сделать это в вашем случае - пропустить любой разговор о преобразовании символа Леви-Чивиты (и тензора), так как вы не используете его в дальнейшем. При явной работе с формами фреймов вы не применяете никаких преобразований к функциям компонента. Вместо этого вы преобразуете фрейм и идентифицируете преобразованные компоненты, собирая преобразованное выражение в стандартную форму. Это именно то, что вы делаете позже.

пользователь270244 · Answer 3

То, что вы написали, в основном состоит в том, что форма: 2 в старых координатах = det (J) * (форма 2 в новых координатах)

Вот почему это тензорная плотность, преобразованная методом якобиана. Если бы это был тензор, базисная часть трансформировалась бы противоположно составной части, сохраняя ее неизменной.

В случае формы 2 антисимметризация вводит символ levi civita в качестве компонентов базиса тензора (когда вы расширяете произведение клина как внешнее произведение). Однако этот материал не является инвариантом координат и изменяется, как мы видели ранее. Надеюсь, это объясняет это.

Тензор против тензорных плотностей

горькая мания

Ответы (3)

Эрик Йоргенфельт

горькая мания

Эрик Йоргенфельт

Ягербер48

масса

Эрик Йоргенфельт

масса

Эрик Йоргенфельт

пользователь270244

Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

В каком контексте определяется это понятие вектора?

Путаница по поводу ковариантных и контравариантных векторов

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Что такое псевдотензор на самом деле и как его определить?

Тензоры, определяемые законами преобразования, являются тензорами в векторном пространстве или тензорными полями?

Как может набор компонентов не составить вектор?

Транспонировать тензор (1,1)

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес