Что является ключевым моментом в утверждении, что чистая гравитация не может быть перенормирована из двух петель?

Ключевого момента нет, только утомительный расчет. Это просто совпадение. Теория может быть либо перенормируемой, либо неперенормируемой; и оба сценария в принципе возможны. Перенормируемость с подсчетом мощности обычно дает убедительный намек на то, является ли теория перенормируемой или нет, но это не безошибочный тест ¹ .

Квантовая гравитация не перенормируема подсчетом мощности, поэтому в принципе вы должны подозревать, что теория не перенормируема. Но очень может быть, что на помощь приходит какое-то чудесное устранение расходимостей, которое в конце концов делает теорию перенормируемой. Действительно, теория может содержать некоторую скрытую симметрию, контролирующую возможные расхождения. Тот факт, что первые несколько порядков петель оказываются конечными, не является доказательством того, что они конечны для любого порядка. Вы либо доказываете, что они существуют (что является очень нетривиальной задачей), либо доказываете, что это не так (находя явный контрпример).

В случае КГ первый порядок оказывается конечным. Есть и другие примеры теорий, которые являются конечными с одной петлей, но не более высоких порядков (например, наивная массивная теория Янга-Миллса, см. этот пост PSE ). Объяснять однопетлевую конечность особо не нужно : она просто иногда случается без какой-либо глубокой причины. Оказывается, в КГ можно частично объяснить это явление на основании метрической независимости характеристики Эйлера — Пуанкаре. Цитируя ДеВитта,

Из-за метрической независимости характеристики Эйлера-Пуанкаре ^[2] члены, квадратичные по полному тензору Римана, в контрчлене, необходимом для сокращения полюсного члена [в однопетлевом эффективном действии], могут быть заменены членами, квадратичными по Тензор Риччи и скаляр кривизны. Модифицированный таким образом контрчлен имеет вид

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta S&=\frac{1}{16\pi^2}\frac{1}{d-4}\int g^{1/2}\left(-\frac{429}{36}R^2+\frac{187}{90}R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}\right)\mathrm d^4x\\ &=\int\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}A_{\mu\nu}\ \mathrm d^4x \end{aligned}\tag{35.170} \end{equation}$$ где $$\begin{equation} A_{\mu\nu}=-\frac{1}{16\pi^2\mu^2}\frac{1}{d-4}\left(\frac{187}{180}R_{\mu\nu}+\frac{979}{180}g_{\mu\nu}R\right) \end{equation}$$

Уравнение$(35.170)$имеет именно такую ​​форму$(25.90)$. Как объяснялось в главе 25, наличие или отсутствие встречного члена, таким образом, не имеет значения при расчете$S$-матрица, и чистая квантовая гравитация конечна с одной петлей. Это случайность, возникающая из-за существования характеристики Эйлера-Пуанкаре, и не происходит в более высоких порядках.

(выделено мной)

---

Для полноты мы набросаем доказательство однопетлевой конечности вакуумной квантовой гравитации. В основном мы отслеживаем 0550-3213(86)90193-8 (§3.1). Простой анализ подсчета мощности показывает, что для одной петли наиболее общий контртерм читается

$$\Delta S^{(1)}=\int g^{1/2}(c_1R^2+c_2R^{ab}R_{ab}+c_3R^{abcd}R_{abcd})\ \mathrm d^4x$$ для некоторых (формально расходящихся) констант $c_{1,2,3}$. Первые два члена обращаются в нуль на оболочке (в вакууме), а третий в принципе нет. Но, используя тот факт, что характеристика Эйлера-Пуанкаре является топологической (т. е. ее подынтегральная функция является полной производной), мы можем записать $c_3$срок как функция $R^2$и $R^{ab}R_{ab}$. Это, в свою очередь, означает, что $$\Delta S^{(1)}\overset{\mathrm{O.S.}}=\int g^{1/2}(\text{total derivative})\ \mathrm d^4x$$ что доказывает однопетлевую конечность квантовой гравитации (напомним, что топологические члены невидимы для теории возмущений). Ясно, что этот аргумент не работает в присутствии материи, потому что поля на оболочке не удовлетворяют $R^{ab}=0$больше, а потому $\Delta S^{(1)}$уже не является полной производной.

В случае двух или более петель количество доступных инвариантов, которые могут быть построены из метрики и которые могут выступать в качестве контртермов, больше, чем в случае одной петли. Большинство этих инвариантов зависит от$R^{abcd}$скорее, чем$R^{ab}$, и поэтому они не исчезают на оболочке. На самом деле у нас есть

$$\Delta S^{(2)}\overset{\mathrm{O.S.}}=c_4\int g^{1/2}R^{ab}{}_{cd}R^{cd}{}_{ef}R^{ef}{}_{ab}\ \mathrm d^4x$$ для некоторой константы $c_4$. Здесь нет тождества, связывающего эту комбинацию с топологическим термином, и, следовательно, если не происходит какой-либо случайной отмены расхождений, приводящей к $c_4=0$, двухпетлевой контрчлен-лагранжиан не должен исчезать на оболочке. Явный расчет доказывает, что такого сокращения нет, и, следовательно, квантовая гравитация не является двухпетлевой конечной.

Повторим еще раз: вполне могло быть так, что квантовая гравитация все-таки перенормируема. Конечность одной петли может быть установлена ​​простыми аргументами подсчета мощности, но такой вывод не может быть сделан для более высоких петель. Таким образом, единственное, что мы можем сделать, это провести утомительный расчет. Сделав это, мы обнаружим, что квантовая гравитация не конечна. Ну что ж.

---

^{1: Возьмите вашу любимую перенормируемую теорию и выполните нелинейное переопределение поля; получившаяся теория имеет новые члены, которые не перенормируются подсчетом мощности, но$S$матрица остается прежней (она конечна).}

^{2: Характеристика Эйлера-Пуанкаре в четырех измерениях читается}

$$\chi_4=\frac{1}{32\pi^2}\int g^{1/2}(R_{abcd}R^{abcd}-4R_{ab}R^{ab}+R^2)\ \mathrm d^4x$$