Как совместить квантовую механику и общую теорию относительности?

«На самом деле мы прекрасно понимаем, как включить квантово-механические эффекты в гравитацию, пока мы не задаем вопросов о том, что происходит на расстояниях, меньших планковской длины».

Этот отрывок, вероятно, намекает на подход, описанный в этом обзоре:

• «Введение в описание гравитации теорией эффективного поля», https://arxiv.org/abs/gr-qc/9512024 .

В этом подходе гравитация трактуется пертурбативно и с пониманием того, что результаты действительны только при достаточно низком разрешении по сравнению с длиной Планка.

Вот как это работает: мы знаем, как сформулировать квантовую теорию поля (КТП) в плоском пространстве-времени. «Плоское пространство-время» относится к специальному метрическому полю. В ОТО метрическое поле$g_{ab}$является динамической сущностью, которая одновременно влияет и находится под влиянием всех других динамических сущностей (материи, электромагнитного поля и т. д.). Для приложений, включающих только слабые гравитационные поля, мы можем написать метрику пространства-времени$g_{ab}$в виде$g_{ab}=\eta_{ab}+\kappa h_{ab}$, где$\eta_{ab}$представляет собой плоское пространство-время и$\kappa h_{ab}$является остатком с некоторым малым коэффициентом$\kappa$. Подобно тому, как большинство расчетов в квантовой электродинамике (КЭД) выполняется с использованием разложения по степеням постоянной тонкой структуры (которая определяет силу электромагнитных взаимодействий), мы можем рассматривать остаток$h_{ab}$как квантовое поле, используя разложение по степеням$\kappa$.

Как и в КЭД, члены в этом разложении включают некоторые интегралы, которые были бы плохо определены («бесконечны»), если бы мы наивно предполагали, что теория верна в произвольно мелких масштабах; но мы знаем, что это не так, и мы можем объяснить наше незнание более мелких масштабов с помощью отсечки $\epsilon$, что равносильно удалению любой части любого интеграла, который включает в себя расстояния меньше, чем$\epsilon$. Отсечение явно искусственное, и это нормально, потому что это не должно быть теорией всего. Предполагается, что это всего лишь теория вещей с достаточно низким разрешением. Это идея, лежащая в основе теории эффективного поля, которая представляет собой современный взгляд почти на каждое приложение КТП, независимо от того, пытается ли она включить гравитацию или нет. В частности, это основа современного понимания перенормировки в КТП, рассмотренной в

• Лепаж (1989), «Что такое перенормировка?» Boulder ASI, страницы 483-508, https://arxiv.org/abs/hep-ph/0506330 .

Определение любой конкретной модели включает в себя несколько параметров$\lambda$, включая константы связи, массы элементарных частиц и т.д. Точное значение$\epsilon$не должно иметь значения, потому что это искусственная отсечка, единственная роль которой состоит в том, чтобы объяснить наше невежество. На самом деле, мы можем компенсировать небольшие изменения в значении$\epsilon$путем внесения соответствующих небольших изменений во все остальные параметры$\lambda$которые определяют модель таким образом, что предсказания модели остаются практически неизменными в масштабах, намного более грубых, чем$\epsilon$. Вот что значит «перенормировка». Другими словами, когда мы принимаем параметры модели за соответствующие функции$\lambda(\epsilon)$из$\epsilon$, предсказания модели с низким разрешением становятся практически нечувствительными к точному значению отсечки$\epsilon$.

Сказать, что модель является перенормируемой, означает, что модель имеет короткий список специальных параметров, так что все другие параметры модели могут быть выражены как функции этих специальных параметров без каких-либо дополнительных$\epsilon$-зависимость. Это было разъяснено в технической документации

• Полчински (1984), «Перенормировка и эффективные лагранжианы», Nuclear Physics B 231 : 269-295, http://max2.physics.sunysb.edu/~rastelli/2016/Polchinski.pdf , по состоянию на 14 октября 2018 г.

КЭД (без гравитации) является примером перенормируемой модели. И наоборот, заявление о том, что модель неперенормируема, означает, грубо говоря, что каждый из параметров модели должен зависеть от$\epsilon$по-своему, независимо от других, чтобы сохранить фиксированными прогнозы модели с низким разрешением. Несмотря на негативно звучащее название, неперенормируемые модели также полезны. Мы используем их все время, с большим эмпирическим успехом. Нерелятивистское приближение к КЭД является одним из примеров неперенормируемой модели. Другим примером является подход, описанный выше для включения гравитации.

Между прочим, мы можем также сформулировать обычную КТП в любом заданном пространственно -временном фоне, таком как тот, который описывает гравитационное поле Земли, вообще не пытаясь рассматривать гравитацию как одно из квантовых полей. Это намного проще (хотя все еще сложно и требует некоторых тонкостей). Это приближение использовал Хокинг для своих знаменитых вычислений, которые привели к некогда неожиданному выводу, что черные дыры излучают. Этот расчет вообще не требовал рассматривать гравитацию как квантовое поле.

Хотя разложения с малыми параметрами, подобные описанным выше, очень полезны (они используются почти во всех расчетах в физике элементарных частиц), у них есть ограничения. В частности, они почти наверняка являются только асимптотическими разложениями , а это означает, что, хотя первые несколько членов дают отличное приближение, ряд в конечном итоге сбивается с пути при достаточно больших степенях параметра расширения, в конечном итоге расходясь. Асимптотические разложения не свойственны КТП; они были хорошо изучены математиками в гораздо более простых контекстах. Одним из простых примеров является функция$\lambda$определяется

$$f(\lambda)\equiv \int_{-\infty}^\infty dx\ \exp(-x^2-\lambda x^4).$$ Посмотрев, мы можем видеть, что этот интеграл корректно определен для всех$\lambda > 0$, но он не определен («бесконечен») для всех$\lambda\leq 0$. Примечательно, что мы можем разложить его по степеням$\lambda$, точно вычислить каждый из полученных интегралов, и первые несколько членов этого разложения дают превосходное приближение к точной функции, если$\lambda$достаточно мала (и положительна). Однако радиус сходимости этого ряда равен нулю (поскольку точный интеграл становится неопределенным, как только$\lambda\leq 0$), и мы пожинаем последствия этого, когда пытаемся перенести разложение на более высокие порядки: каждый отдельный член определен корректно, но ряд не сходится.

Предположительно такова КЭД, и подход слабой гравитации к квантовой гравитации, описанный выше, также предположительно подобен этому. И, кроме того, отдельные термины в этом ряду четко определены только в том случае, если мы сохраняем отсечку.$\epsilon$ненулевой. Таким образом, несмотря на то, что этот подход предположительно подходит для некоторых приложений слабой гравитации, его полезность ограничена низким разрешением и низкими порядками в расширении. Вот почему люди говорят, что это не определяет правильную теорию квантовой гравитации.