Демон Лагранжа де-сохраняет угловой момент

Question

Демон Лагранжа де-сохраняет угловой момент

джстарк

Месье Лагранж протягивает веревку через отверстие в горизонтальном столе, тем самым создавая вращающуюся (точечную) массу. Демон сидит у него на плече и внимательно следит за происходящим. Потенциальной функции нет. Лагранжиан

\begin{matrix} (1) & л "=" \frac{1}{2} м {\dot{р}}^{2} + \frac{1}{2} м р^{2} {\dot{θ}}^{2} . \end{matrix}

$\mathcal{L}= \frac12m \dot{r}^2 +\frac12m r^2\dot{\theta}^2. \tag{1}$

Поскольку г-н Лагранж придерживается временного протокола, мы имеем лагранжиан с ограничением

\begin{matrix} (2) & л^{'} "=" \frac{1}{2} м {\dot{р}}^{2} + \frac{1}{2} м р^{2} {\dot{θ}}^{2} + λ (р - г (т)) . \end{matrix}

$\mathcal{L'}= \frac12m \dot{r}^2 +\frac12m r^2\dot{\theta}^2+ \lambda (r-g(t)) .\tag{2}$

Эйлера-Лагранжа для $r$ является

\begin{aligned} \frac{г}{г т} \frac{\partial л^{'}}{\partial \dot{р}} - \frac{\partial л^{'}}{\partial р} & "=" м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2}) + \frac{г}{г т} \frac{\partial λ (р - г (т))}{\partial \dot{р}} - \frac{\partial λ (р - г (т))}{\partial р} \\ \approx м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2}) - λ \\ (3) & "=" 0, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d }{dt }\frac{\partial\mathcal{L'}}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial \mathcal{L'}}{\partial {r}}&= m(\ddot{r}-r \dot {\theta} ^2) + \frac{d }{dt }\frac{\partial\lambda(r-g(t))}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial \lambda (r-g(t))}{\partial {r}} \\ &\approx m(\ddot{r}-r \dot {\theta} ^2)-\lambda \\ &= 0,\tag{3} \end{align}$

где $\approx$ указывает здесь и трижды впоследствии, что, возможно, некоторые производные умножаются на нулевой eaux-shell.

Эйлера-Лагранжа для $\theta$ является

\begin{aligned} \frac{г}{г т} \frac{\partial л^{'}}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial л^{'}}{\partial θ} & "=" \frac{г}{г т} (м р^{2} \dot{θ}) + \frac{г}{г т} \frac{\partial λ (р - г (т))}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial λ (р - г (т))}{\partial θ} \\ \approx \frac{г}{г т} (м р^{2} \dot{θ}) \\ (4) & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{d }{dt }\frac{\partial\mathcal{L'}}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial \mathcal{L'}}{\partial {\theta}} &= \frac{d}{dt} (m r^2 \dot{{\theta}}) + \frac{d }{dt }\frac{\partial\lambda(r-g(t))}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial \lambda (r-g(t))}{\partial {\theta}} \\ &\approx \frac{d}{dt} (m r^2 \dot{{\theta}}) \\ &= 0.\tag{4} \end{align}$

Мы определяем $mr^2\dot{\theta}$ как угловой момент, $L$ , постоянная движения. Не прибегая к полному формализму Гамильтона, мы можем вычислить изменение кинетической энергии.

\begin{matrix} (5) & Т "=" \frac{1}{2} м ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{θ}}^{2}) "=" \frac{1}{2} (м {\dot{р}}^{2} + \frac{л^{2}}{м р^{2}}) . \end{matrix}

$T= \frac12m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)=\frac12\left(m\dot{r}^2+\frac{L^2}{mr^2}\right).\tag{5}$

\begin{aligned} \frac{г Т}{г т} & "=" м \dot{р} \ddot{р} - \frac{л^{2}}{м р^{3}} \dot{р} \\ "=" (м \ddot{р} - \frac{(м р^{2} \dot{θ})^{2}}{м р^{3}}) \dot{р} \\ "=" м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2}) \dot{р} \\ (6) & "=" λ \dot{р} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dT}{dt}&=m\dot{r}\ddot{r} -\frac{L^2}{mr^3}\dot{r}\\ &= \left(m\ddot{r}- \frac{(mr^2\dot{\theta})^2}{mr^3}\right)\dot{r}\\ &=m (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\dot{r}\\ &= \lambda \dot{r}.\tag{6} \end{align}$

Пока без сюрпризов: $\theta$ "игнорируется", угловой момент $L$ сохраняется. Множитель Лагранжа $\lambda$ это полная сила в направлении «r», равная отрицательной силе Лагранжа, который совершает работу, втягивая массу внутрь.

Теперь... демон составлял таблицу $\theta$ относительно времени и использует теорию неявных функций для отображения r как функции $\theta$ . Во втором заезде мсье Лагранж будет так стеснен.

ТРАЕКТОРИЯ ДОЛЖНА ОСТАВАТЬСЯ НЕИЗМЕННОЙ.

\begin{matrix} (7) & л^{″} "=" \frac{1}{2} м {\dot{р}}^{2} + \frac{1}{2} м р^{2} {\dot{θ}}^{2} + мю (р - час (θ)) . \end{matrix}

$\mathcal{L''}= \frac12m \dot{r}^2 +\frac12m r^2\dot{\theta}^2+ \mu (r-h(\theta)).\tag{7}$

Эйлера-Лагранжа для $r$ является

\begin{aligned} \frac{г}{г т} \frac{\partial л^{″}}{\partial \dot{р}} - \frac{\partial л^{″}}{\partial р} & "=" м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2}) + \frac{г}{г т} \frac{\partial мю (р - час (θ))}{\partial \dot{р}} - \frac{\partial мю (р - час (θ))}{\partial р} \\ \approx м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2}) - мю \\ (8) & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d }{dt }\frac{\partial\mathcal{L''}}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial \mathcal{L''}}{\partial {r}}&= m(\ddot{r}-r \dot {\theta} ^2) + \frac{d }{dt }\frac{\partial\mu (r-h(\theta))}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial \mu (r-h(\theta))}{\partial {r}} \\ &\approx m(\ddot{r}-r \dot {\theta} ^2)-\mu \\ &= 0.\tag{8} \end{align}$

Эйлера-Лагранжа для $\theta$ является

\begin{aligned} \frac{г}{г т} \frac{\partial л^{″}}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial л^{″}}{\partial θ} & "=" \frac{г}{г т} (м р^{2} \dot{θ}) + \frac{г}{г т} \frac{\partial мю (р - час (θ))}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial мю (р - час (θ))}{\partial θ} \\ \approx \frac{г}{г т} (м р^{2} \dot{θ}) + мю \frac{\partial час}{\partial θ} \\ "=" \frac{г л}{г т} + мю \frac{\dot{р}}{\dot{θ}} \\ (9) & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d }{dt }\frac{\partial\mathcal{L''}}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial \mathcal{L''}}{\partial {\theta}}&= \frac{d}{dt} (m r^2 \dot{{\theta}}) + \frac{d }{dt }\frac{\partial\mu(r-h(\theta))}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial \mu (r-h(\theta))}{\partial {\theta}} \\ &\approx \frac{d}{dt} (m r^2 \dot{{\theta}}) + \mu \frac{\partial h}{\partial \theta} \\ &= \frac {d L}{d t} + \mu \frac {\dot r}{\dot \theta} \\ &= 0.\tag{9} \end{align}$

Теперь мы сразу видим, что, поскольку $\theta$ больше не является «игнорируемым», угловой момент больше не сохраняется. С другой стороны, множитель Лагранжа (теперь $\mu$ ) по-прежнему полная сила, действующая в $r$ направление. Мы снова можем рассчитать скорость изменения кинетической энергии.

\begin{aligned} \frac{г Т}{г т} & "=" м \dot{р} \ddot{р} - \frac{л^{2}}{м р^{3}} \dot{р} + \frac{1}{2 м р^{2}} \cdot \frac{г}{г т} л^{2} \\ "=" (м \ddot{р} - \frac{(м р^{2} \dot{θ})^{2}}{м р^{3}}) \dot{р} + \frac{1}{2 м р^{2}} \cdot 2 л \frac{г л}{г т} \\ "=" мю \dot{р} + \frac{1}{2 м р^{2}} \cdot 2 м р^{2} \dot{θ} \cdot (- 1) мю \frac{\dot{р}}{\dot{θ}} \\ "=" мю \dot{р} - мю \dot{р} \\ (10) & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dT}{dt}&=m\dot{r}\ddot{r} -\frac{L^2}{mr^3}\dot{r}+ \frac1{2mr^2} \cdot \frac{d}{dt} L^2\\ &=\left(m\ddot{r}- \frac{(mr^2\dot{\theta})^2}{mr^3}\right)\dot{r}+ \frac1{2mr^2} \cdot 2L \frac{dL}{dt}\\ &= \mu \dot{r}+ \frac1{2mr^2} \cdot 2 mr^2 \dot{\theta}\cdot (-1) \mu \frac {\dot{r}}{\dot{\theta}}\\ &=\mu \dot{r} - \mu \dot{r}\\ &=0.\tag{10} \end{align}$

Ну я не вижу в чем ошибка. Ошибок в расчетах вроде бы нет. Демон будет говорить только такие вещи, как $\theta$ идет от этого к этому, поэтому вы должны тянуть нить из этого $r$ к тому, что $r$ .

Кажется, я припоминаю из Электротехники, что «система является наблюдаемой, если эта матрица имеет полный ранг», и «система является управляемой, если эта матрица или какая-либо другая матрица имеет полный ранг или меньше полного ранга, но я даже не вижу, как это применимо.

(поглощено ОП ОП из исходного «ответа» ОП в «ожидании» ответа @Qmechanic, комментарий @ACuriousMind)

Подробности? Демон в деталях. Конструкция во второй части является полностью общей в соответствии с теорией неявных функций. Что касается одного конкретного примера:

Мы знаем $L=mr^2\dot{\theta}$ или $\dot{\theta}= \frac{1}{r^2} \frac{L}{m}$ . Примем следующую пробную функцию времени:

$\frac{1}{r^2}=At+B$ , (т.е. $r=g(t)=\frac{1}{\sqrt{At+B}}$ ), где A и B положительны. Обратите также внимание на то, что $L$ есть (все еще) постоянная движения, которую мы считаем положительной.

\begin{aligned} θ "=" \frac{л}{м} \int (А т + Б) г т & "=" \frac{л}{м} (\frac{1}{2} А т^{2} + Б т) \\ \frac{1}{2} А т^{2} + Б т - \frac{м}{л} θ & "=" 0 \\ ∴ т & "=" \frac{- Б + \sqrt{Б^{2} + 4 \frac{1}{2} А \frac{м}{л}} θ}{А} \end{aligned}

$\begin{align}\theta =\frac{L}{m}\int\,(At+B)~\mathrm dt &=\frac{L}{m}\left( \frac{1}{2}At^2+Bt\right) \\ \frac{1}{2}At^2+Bt-\frac{m}{L}\theta &=0\\ \therefore ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ t &= \frac{-B+ \sqrt{B^2 + 4 \frac{1}{2} A \frac{m}{L}} \theta}{A}\end{align}$

Здесь мы выбрали положительный корень.

р "=" \frac{1}{\sqrt{А т + Б}} "=" \frac{1}{\sqrt{А \frac{- Б + \sqrt{Б^{2} + 4 \frac{1}{2} А \frac{м}{л}} θ}{А} + Б}} "=" \frac{1}{\sqrt{\sqrt{Б^{2} + 2 А \frac{м}{л} θ}}}

$r= \frac{1}{\sqrt{At+B}} = \frac{1}{\sqrt{A \frac{-B+ \sqrt{B^2 + 4 \frac{1}{2} A \frac{m}{L}} \theta}{A}+B }} = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{B^2+2A \frac{m}{L}\theta}}}$

(т.е. $r=h(\theta)= \frac{1}{\sqrt{\sqrt{B^2+2A \frac{m}{L}\theta}}}$ )

Это не закрывает проблему, поскольку остается вероятность того, что даже когда r уменьшается от множителя Лагранжа, $\lambda$ , нулевой.

\begin{aligned} р & "=" (А т + Б)^{- \frac{1}{2}} \\ \dot{р} & "=" - \frac{1}{2} (А т + Б)^{- \frac{3}{2}} А \\ \ddot{р} & "=" + \frac{3}{4} (А т + Б)^{- \frac{5}{2}} А^{2} "=" \frac{3}{4} А^{2} р^{5} \end{aligned}

$\begin{align} r &=(At+B)^ {-\frac{1}{2}}\\ \dot {r} &=-~\frac{1}{2}(At+B) ^{-\frac{3}{2}}A\\ \ddot{r} &=+~\frac{3}{4}(At+B)^{-\frac{5}{2}}A^2= \frac{3}{4} A^2 r^5\end{align}$

Но

λ "=" м (\ddot{р} - \dot{θ^{2}} р) "=" м (\ddot{р} - {(\frac{л}{м})}^{2} \frac{1}{р^{3}}) "=" м (\frac{3}{4} А^{2} р^{5} - {(\frac{л}{м})}^{2} \frac{1}{р^{3}})

$\lambda=m\left(\ddot{r}-\dot{\theta^2}r\right)=m\left( \ddot{r}-\left(\frac{L}{m}\right)^2 \frac{1}{r^3}\right)=m\left(\frac{3}{4} A^2 r^5-\left(\frac{L}{m}\right)^2\frac{1}{r^3}\right)$

Я уверен, вы понимаете, что маловероятно, что этот множитель Лагранжа не будет работать.

Я думаю, что мой первоначальный вопрос содержал два минуса. Ни то, ни другое не повлекло за собой «строительства» для второго запуска. Первый недостаток был связан с самим ограничением: $\lambda(r-g(t))$ Является ли это «ограничение» голономным? неголономный? Как бы вам этого ни хотелось, даже если $\lambda$ может иметь явную зависимость от времени, его нельзя привести к виду $\lambda$ F(все обобщенные координаты, все обобщенные скорости).

В качестве альтернативы Qmechanic любит думать с точки зрения потенциальной энергии. $V := \lambda (g(\theta,t)-r)$ . Но, к тому же, я помню Вероятности Перехода (в Qm 101 (или 102)) и поносил зависящие от времени Потенциальные Энергии даже в правой части уравнения Шредингера.

С одной стороны, чем больше я думаю об этих головоломках (о нарушении сохранения углового момента и, как подчеркивал Qmechanic, о повторном сохранении кинетической энергии), тем меньше меня это беспокоит. С другой стороны, есть еще что-то, чего не хватает. Вопрос задан не корректно...

Ответы (2)

Демон Лагранжа де-сохраняет угловой момент

Qмеханик · Answer 1

Давайте положим массу $m=1$ для простоты. Месье Лагранж и демон рассматривают лагранжиан вида

\begin{matrix} (А) & л "=" Т - В, Т "=" \frac{1}{2} в^{2} "=" \frac{1}{2} ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{θ}}^{2}), В "=" λ (г (θ, т) - р) . \end{matrix}

$L~=~ T -V , \qquad T~:=~\frac{1}{2}v^2~=~ \frac{1}{2}(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2), \qquad V~:=~\lambda(g(\theta,t)-r). \tag{A}$

Лагранжевы импульсы

\begin{matrix} (Б) & п_{р} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{р}} "=" \dot{р}, п_{θ} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{θ}} "=" р^{2} \dot{θ}, п_{λ} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{λ}} "=" 0. \end{matrix}

$p_r~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~\dot{r}, \qquad p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~r^2\dot{\theta}, \qquad p_{\lambda}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\lambda}}~=~0. \tag{B}$

Энергетическая функция Лагранжа

\begin{matrix} (С) & час "=" п_{р} \dot{р} + п_{θ} \dot{θ} + п_{λ} \dot{λ} - л "=" Т + В . \end{matrix}

$h~:=~p_r\dot{r}+p_{\theta}\dot{\theta}+p_{\lambda}\dot{\lambda}-L~=~T+V.\tag{C}$

В первой части эксперимента дуэт позволил функции
$\begin{matrix} (Д) & г (θ, т) "=" ф (т) \end{matrix}$ $g(\theta,t)~=~f(t)\tag{D}$ быть независимым от $\theta$ но быть заданной фиксированной явной функцией времени $t$ . Это означает, что энергия (C) не обязательно сохраняется во времени.
Во второй части эксперимента дуэт настраивает функцию
$\begin{matrix} (Е) & г (θ, т) "=" час (θ; исходные данные) \end{matrix}$ $g(\theta,t)~=~h(\theta; \text{initial data})\tag{E}$ к функции без явной зависимости от времени, но такой, что траектории для $r$ и $\theta$ (но не обязательно $\lambda$ ) такие же, как и в первой части. Поскольку явной зависимости от времени нет, энергия (С) сохраняется во времени. ОП отмечает, что сохранение энергии во второй части потенциально противоречит первой части.

Во-первых, конструкция во второй части невозможна для функции, заданной в общем виде. $f(t)$ .

Мы предсказываем, что для специальных функций $f(t)$ где возможна вторая часть, сила связи $\lambda$ равна нулю, так что энергия (С) сохраняется во времени в обеих частях эксперимента, и тем самым разрешается кажущееся противоречие. Мы оставляем читателю разобраться в деталях.

джстарк · Answer 2

Вот настоящий ответ. Рассмотрим первый ограниченный лагранжиан:

л^{'} "=" (1 / 2) м {\dot{р}}^{2} + (1 / 2) м р^{2} {\dot{θ}}^{2} + λ (р - г (т))

$\mathcal{L'}= (1/2)m \dot{r}^2 +(1/2)m r^2\dot{\theta}^2+ \lambda (r-g(t))$

Мы видим кинетическую энергию, множитель Лагранжа, ограничение, представленное в полярных координатах. Но лагранжиан является только СЛУЧАЙНЫМ для физической установки, т.е. мсье Лагранжа и его струны. Эффективность полярных координат подчеркивается даже при рассмотрении направления «обобщенной силы»:

ф_{р} "=" λ \frac{\partial (р - г (т))}{\partial р} "=" λ

$f_r= \lambda \frac{\partial(r-g(t))}{\partial r}=\lambda$

ф_{θ} "=" λ \frac{\partial (р - г (т))}{\partial θ} "=" 0

$f_\theta=\lambda\frac{\partial(r-g(t))}{\partial \theta}=0$

Теперь, когда демон насмехается над тем, что второй запуск должен быть ограничен в соответствии с $r=h(\theta)$ Синьору Лагранжу следовало бы справедливо ответить: «Но это то, что я только что сделал».

Второй ограниченный лагранжиан равен

л^{″} "=" (1 / 2) м {\dot{р}}^{2} + (1 / 2) м р^{2} {\dot{θ}}^{2} + мю (р - час (θ))

$\mathcal{L''}= (1/2)m \dot{r}^2 +(1/2)m r^2\dot{\theta}^2+ \mu (r-h(\theta))$

Психологическая ошибка, и она мощная, заключается в том, что происходит мезмеризация, происходящая с полярными координатами, что приводит к ожиданию, что источником сдерживающей силы должна быть первоначальная экспериментальная установка: синьор Лагранж и его струна. Это заблуждение развеивается только при рассмотрении направления «обобщенной силы»:

ф_{р} "=" мю \frac{\partial (р - час (θ))}{\partial р} "=" мю

$f_r= \mu \frac{\partial(r-h(\theta))}{\partial r}=\mu$

ф_{θ} "=" мю \frac{\partial (р - час (θ))}{\partial θ} "=" мю (-) \frac{\partial час}{\partial θ} "=" - мю \frac{\partial р}{\partial θ} "=" - мю \frac{\dot{р}}{\dot{θ}}

$f_\theta=\mu\frac{\partial(r-h(\theta))}{\partial \theta}=\mu (-)\frac{\partial h}{\partial \theta}=- \mu \frac{\partial r}{\partial \theta}=- \mu \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}}$

Как $\mathcal{L''}$ , которая является кинетической энергией, множителем Лагранжа и ограничением, «пронюхивает» себе путь через пространство 2+1, и делает это таким образом, что ограничивающая сила НЕ может возникать в исходной экспериментальной установке. $(f_\theta \neq 0)$

Последнее доказывает, что $L$ должны быть деконсервированы. А поскольку направление «обобщенной силы» тривиально считается перпендикулярным фактической траектории: кинетическая энергия снова сохраняется!

Простейшая экспериментальная установка, которая проявляется $\mathcal{L''}$ пожалуй, самый простой из всех: корыто (с кубиком льда).

(Еще один пример изо-скорости - «привязной шар», НЕ объясненный на этом прицеле.)

Мог ли синьор Лагранж и его струна сдерживать его массу вдоль траектории любой такой впадины? Ответ «Да», но только до тех пор, пока слово «траектория» понимается как означающее r как функцию $\theta$ . Необходимо снова предположить сохранение $L=mr^2 \dot{\theta}$ и интегрировать. Но если под «траекторией» понимать совместную зависимость r и $\theta$ на t ответ, как мы видели, «Нет».

Наконец, могут ли быть разветвления в реальной физике? Могли ли быть формулировки в терминах лагранжианов, а затем переформулировки в терминах, которые больше не могли найти «поддержку» в «контексте» «физической установки» (т. е. Вселенной). QFT? ГР? Звучит так, как будто мсье Дирак вскочил бы на это. Но мне придется оставить это ему и другим физикам Настоящего.

Демон Лагранжа де-сохраняет угловой момент

джстарк

Ответы (2)

Qмеханик

джстарк

джстарк

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Можно ли спроецировать задачу механики на более низкую размерность?

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Уравнения движения свободной частицы на сфере

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Обобщенные координаты в трехмерном вращении

Какова точная связь между необратимой матрицей Гессе для лагранжиана и наличием калибровочной симметрии?