Какова точная связь между необратимой матрицей Гессе для лагранжиана и наличием калибровочной симметрии?

Эти условия не эквивалентны, только при нескольких предположениях. Хорошим справочником являются главы 1 и 3 книги Хенно и Тейтельбойма «Квантование калибровочных систем» .

1. «Правильное» определение калибровочной теории, которое явно не опирается ни на гамильтониан, ни на лагранжев формализм, состоит в том, что решения$q(t)$к уравнениям движения содержат некоторые произвольные функции времени, т. е. не определяются однозначно начальными условиями. Это основная причина представления о том, что «калибровочные степени свободы избыточны».

2. В лагранжевом формализме уравнения движения представляют собой уравнения Эйлера-Лагранжа:

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = \ddot{q}^j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} + \dot{q}^j \frac{\partial L}{\partial q^j\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0 \tag{1}$$ который дает $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} \ddot{q}^j = - \dot{q}^j \frac{\partial L}{\partial q^j\partial \dot{q}^i} + \frac{\partial L}{\partial q^i}\tag{2},$$ показывает, что ускорения$\ddot{q}^j$определяются скоростями и положениями тогда и только тогда, когда матрица$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i}$является невырожденным. Вот почему условие $$\det\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j \partial \dot{q}^i} \right) = 0\tag{3}$$ является релевантным условием для лагранжевой калибровочной теории. Заметим, что до сих пор мы вообще не пользовались понятием «калибровочное преобразование».

3. При переходе к гамильтонову формализму с импульсами$p_i$, экв. (3) проявляется как ряд отношений вне оболочки$\phi_k(q,p) = 0$среди импульсов, называемых первичными ограничениями . К ним мы должны добавить вторичные ограничения на оболочке , полученные путем наложения$\dot{\phi}_k = 0$. Мы также обозначаем их через$\phi_k$(и они потенциально, в свою очередь, генерируют третичные ограничения и т. д.), поскольку в конечном итоге нас все равно будет интересовать случай на оболочке. Все эти ограничения делятся на два более важных класса, творчески названных первым классом и вторым классом:

   Ограничение первого класса — это ограничение, коммутирующее по Пуассону со всеми другими ограничениями, т. е.$\{\phi_i,\phi_j\} = 0$для всех$j$. Мы будем обозначать их как$\gamma_i$. Ограничение второго класса — это ограничение, которое не имеет значения, мы будем обозначать его как$\chi_i$.

4. Ограничения первого класса порождают калибровочные преобразования: полный гамильтониан, уравнения движения которого эквивалентны уравнениям движения вырожденной лагранжевой системы, может быть записан как

   $$H = H_0 + v^i \gamma_i,$$ где$H_0$является функцией первого класса и$v^i$— произвольные функции времени, соответствующие произвольным функциям из нашего определения в начале. Глядя на наблюдаемое фазовое пространство$f$вовремя$t + \delta t$и рассматривая два разных варианта$v^i, v^i + \delta v^i$вовремя$t$, мы находим, что $$\delta f = \delta v^i\delta t \{f,\gamma_i\},\tag{4}$$ но этот выбор не должен иметь значения, поскольку$v^i$были произвольными с самого начала! Поэтому ур. (4) является проявлением калибровочного преобразования в гамильтоновом формализме, и ограничения первого рода порождают такие калибровочные преобразования. Примечание. Более тщательная аргументация вышеизложенного позволяет сделать вывод только о том, что все первичные ограничения первого рода порождают калибровочные преобразования, а утверждение о том, что все ограничения первого рода порождают калибровочные преобразования, называется гипотезой Дирака , которая обычно считается истинной, но для какие контрпримеры существуют, см. Henneaux/Teitelboim.

5. Ограничения второго класса не генерируют калибровочные преобразования: это очевидно, потому что уравнение. (4) говорит нам, что$\delta \chi_i \neq 0$по крайней мере для одного$\chi_j$, что означает, что они сами преобразуют ограничения, отображая разрешенные состояния системы в запрещенные состояния. Это согласуется с отмечанием того, что при фиксации датчика - выбор специального дополнительного набора ограничений$C_i(q,p) = 0$такие, что в решениях уравнений движения не остается произвольных функций — все связи становятся второстепенными.

6. Наконец, мы можем перейти к обсуждению реальных калибровочных симметрий действия, которое мы знаем и любим. Бесконечно малая произвольная калибровочная симметрия действия$S = \int L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t$имеет форму

   $$\delta q^i = f^{(0)} \epsilon + f^{(1)} \dot{\epsilon} + \dots = \sum_{i=1}^{l} f^{(i)} \frac{\mathrm{d}^i \epsilon}{\mathrm{d}t^i},$$ где$f^{(i)}$являются функциями$q$и их производные и$\epsilon$является произвольной функцией времени. Гамильтоново действие $$S_H = \int (p_i \dot{q}^i - H_0 - v^i \gamma_i)\mathrm{d}t,$$ и дает исходное лагранжево действие после исключения множителей Лагранжа$v^i$, сохраняя все симметрии, что означает калибровочную симметрию$S_H$также является одним из$S_L$.

   Довольно утомительно, но возможно явно проверить, что каждое калибровочное преобразование, порожденное уравнением. (4) является калибровочной симметрией этого действия, см. снова Хенно/Тейтельбойм, глава 3. Однако нам нужна гипотеза Дирака, чтобы знать, что все ограничения порождают калибровочные преобразования и что дополнительных калибровочных симметрий нет.

Следующий список предположений (опять же из H/T) достаточен, но не обязателен для подтверждения гипотезы Дирака:

• Процесс, который находит вторичные, третичные и т. д. ограничения, никогда не дает одно и то же ограничение на двух разных этапах, что означает, что правильно задать вопрос о том, является ли ограничение первичным или третичным.

• Процесс, который находит более высокие ограничения, четко разделяет ограничения первого и второго класса, т. е. ограничение первого класса никогда не порождает ограничение второго класса, и наоборот.

• Кронштейны первого класса$[H,\gamma_a] = V_a^b \gamma_b$являются «достаточно хорошими функциями», в частности, матрицы$V_{m_i}^{m_j}$где$m_i$обозначает индексы ограничений конкретного поколения, имеющие максимальный ранг.

В целом, мы находим, что если вышеуказанные условия выполняются (или если гипотеза Дирака в любом случае верна) и если уравнение вырождения. (3) вызвано не только ограничениями второго рода, то существует эквивалентность между вырождением и существованием калибровочных симметрий действия. Обратите внимание, что согласно нашему первоначальному определению калибровочной теории это означает, что не все «калибровочные теории» обладают калибровочными преобразованиями!