Действие массивной свободной точечной частицы в релятивистской механике

Question

Действие массивной свободной точечной частицы в релятивистской механике

пользователь71714

Я читал о формулировке механики в специальной теории относительности и обнаружил, что действие массивной свободной точечной частицы как

С "=" - м с \int_{а}^{б} г с

$S = -mc\int_a^b ds$ Итак, я сделал несколько наблюдений, т.е.

С "=" - м с^{2} \int_{а}^{б} г т

$S = -mc^2 \int_a^b dt$ и быть

{ты}_{мю} {ты}^{мю} "=" с^{2}

$u_{\mu}u^{\mu} = c^2$ Я написал действие как

С "=" - \int_{а}^{б} м {ты}_{мю} {ты}^{мю} г т

$S = -\int_a^b m u_{\mu}u^{\mu} dt$ что, на мой взгляд, больше похоже на классическую кинетическую энергию.

Так вот, я никогда не видел ничего подобного ни в книге, ни в тексте в Интернете. Кажется, все работают с классической скоростью и старыми добрыми уравнениями Эйлера-Лагранжа со временем в качестве параметра.

Итак, мой вопрос: возможно ли вывести из этого действия правильные уравнения релятивистской динамики?

Попытка решения

Действие

С "=" \int_{а}^{б} л (Икс, в, т) г т

$S = \int_a^b L(x,v,t) dt$ и он должен быть лоренц-инвариантным (действие или лагранжиан?). Теперь, изменив параметризацию пути с помощью

d τ

$d\tau$ вместо

d t

$dt$ не должен менять интеграл (при условии, что все меняется соответственно). Поэтому я переписываю действие как

С "=" \int_{α}^{β} л ({Икс}_{мю}, \frac{г {Икс}_{мю}}{г т}, т) г т

$S = \int_{\alpha}^{\beta} L(x_{\mu}, \frac{dx_{\mu}}{d\tau}, \tau)d\tau$ и сделайте вариацию этого и минимизируйте его:

дельта С "=" \int_{α}^{β} [\frac{\partial л}{\partial {Икс}_{мю}} дельта {Икс}_{мю} + \frac{\partial л}{\partial {ты}_{мю}} дельта {ты}_{мю}] г т "=" 0

$\delta S = \int_{\alpha}^{\beta} \left[ \frac{\partial L}{\partial x_{\mu}}\delta x_{\mu} + \frac{\partial L}{\partial u_{\mu}}\delta u_{\mu}\right] d\tau = 0$ Затем, используя старые манипуляции, получается

\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial {ты}_{мю}}) - \frac{\partial л}{\partial {Икс}_{мю}} "=" 0

$\frac{d}{d\tau}\left( \frac{\partial L}{\partial u_{\mu}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x_{\mu}} = 0$

Это относилось к лагранжиану, который я написал

л "=" м η_{мю ν} {ты}^{мю} {ты}^{ν}

$L = m \eta_{\mu\nu}u^{\mu} u^{\nu}$ кажется, дает правильный 4-импульсный

п_{ν} "=" \frac{\partial л}{\partial {ты}_{мю}} "=" м η_{мю ν} {ты}^{ν}

$p_{\nu} = \frac{\partial L}{\partial u_{\mu}} = m \eta_{\mu\nu}u^{\nu}$

но гамильтониан (общая энергия в тексте, который я читаю) равен нулю:

ЧАС "=" п_{мю} {ты}_{мю} - л "=" м {ты}_{мю} {ты}^{мю} - м {ты}_{мю} {ты}^{мю} "=" 0

$H = p_{\mu}u_{\mu} - L = mu_{\mu}u^{\mu} - mu_{\mu}u^{\mu} = 0$

Я думаю, что ошибся при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа, но не уверен.

любопытный разум

То, что гамильтониан равен нулю, совершенно верно - действие инвариантно к репараметризации во времени, а действия, инвариантные к репараметризации во времени, в общем случае дают нулевые гамильтонианы (которые тогда не соответствуют энергии). Есть ли здесь вопрос, кроме "Правильно ли это?", и если да, то не могли бы вы уточнить?

любопытный разум

Однако обратите внимание, что вы сделали что-то довольно сомнительное: вы использовали

u^{2} = 1

$u^2 = 1$ , которое является свойством решений уравнения движения , но не общего четырехвектора

u

$u$ на уровне действия, где уравнения движения обычно не предполагаются выполненными.

Qмеханик

Комментарии к сообщению (v2): 1. Лагранжиан с неквадратичным корнем OP обсуждается, например, в Гольдштейне, Классическая механика, 2-е издание, разделы 7.9 и 8.4. 2. Обратите внимание, что в лагранжиане должна быть половина

L = \frac{m}{2} η_{μ ν} u^{μ} u^{ν}

$L = \frac m 2\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$ . В противном случае канонический лагранжев импульс

p_{μ} = \frac{\partial L}{\partial u^{μ}}

$p_\mu = \frac{\partial L}{\partial u^\mu}$ становится дважды

m η_{μ ν} u^{ν}

$m\eta_{\mu\nu}u^\nu$ . 3. Отсюда следует, что гамильтониан не равен нулю. Фактически он равен лагранжиану по значению. 4. Напротив, гамильтониан, соответствующий лагранжиану квадратного корня, обращается в нуль из-за репараметризационной инвариантности мировых линий.

пользователь71714

@ACuriousMind да, вы правы. Я забыл сказать, что

u

$u$ есть 4-скорость частицы. На самом деле мой вопрос таков: «Учитывая этот лагранжиан, как устроены уравнения Эйлера-Лагранжа и возможно ли получить обычные динамические параметры, такие как импульс, энергия и т. д., используя только векторы в пространстве Минковского и не используя векторы в старом евклидовом пространстве».

пользователь71714

@Qmechanic Я взял книгу напрокат и многое понял. Я был более или менее прав, но теперь я не понимаю, почему коэффициент 1/2. Я имею в виду, что это работает и все такое, но я вывел лагранжиан с квадратичной формой для 4-скоростей непосредственно из лагранжиана в книге (первое уравнение, которое я написал).

Ответы (1)

Действие массивной свободной точечной частицы в релятивистской механике

То, что гамильтониан равен нулю, совершенно верно - действие инвариантно к репараметризации во времени, а действия, инвариантные к репараметризации во времени, в общем случае дают нулевые гамильтонианы (которые тогда не соответствуют энергии). Есть ли здесь вопрос, кроме "Правильно ли это?", и если да, то не могли бы вы уточнить?
Однако обратите внимание, что вы сделали что-то довольно сомнительное: вы использовали $u^2 = 1$ , которое является свойством решений уравнения движения , но не общего четырехвектора $u$ на уровне действия, где уравнения движения обычно не предполагаются выполненными.
Комментарии к сообщению (v2): 1. Лагранжиан с неквадратичным корнем OP обсуждается, например, в Гольдштейне, Классическая механика, 2-е издание, разделы 7.9 и 8.4. 2. Обратите внимание, что в лагранжиане должна быть половина $L = \frac m 2\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$ . В противном случае канонический лагранжев импульс $p_\mu = \frac{\partial L}{\partial u^\mu}$ становится дважды $m\eta_{\mu\nu}u^\nu$ . 3. Отсюда следует, что гамильтониан не равен нулю. Фактически он равен лагранжиану по значению. 4. Напротив, гамильтониан, соответствующий лагранжиану квадратного корня, обращается в нуль из-за репараметризационной инвариантности мировых линий.
@ACuriousMind да, вы правы. Я забыл сказать, что $u$ есть 4-скорость частицы. На самом деле мой вопрос таков: «Учитывая этот лагранжиан, как устроены уравнения Эйлера-Лагранжа и возможно ли получить обычные динамические параметры, такие как импульс, энергия и т. д., используя только векторы в пространстве Минковского и не используя векторы в старом евклидовом пространстве».
@Qmechanic Я взял книгу напрокат и многое понял. Я был более или менее прав, но теперь я не понимаю, почему коэффициент 1/2. Я имею в виду, что это работает и все такое, но я вывел лагранжиан с квадратичной формой для 4-скоростей непосредственно из лагранжиана в книге (первое уравнение, которое я написал).

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v2):

Пространство-время Минковского можно обобщить на лоренцево многообразие . $(M,g)$ . Выбираем подпись Минковского $(-,+,+,+)$ и поставить скорость света $c=1$ равен единице.
ОП, очевидно, знает, что действие
$\begin{matrix} (1) & С "=" - Е_{0} Δ т \end{matrix}$ $S = -E_0~ \Delta \tau\tag{1}$ для массивной точечной частицы минус энергия покоя $E_0=m_0$ раз изменение $\Delta \tau$ своевременно, см. например, мой ответ Phys.SE здесь . Более подробно ур. (1) действие извлечения квадратного корня $С "=" \int_{λ_{я}}^{λ_{ф}} г λ л, л "=" - м_{0} \sqrt{- {\dot{Икс}}^{2}},$ $S ~=~ \int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda~ L, \qquad L~:=~- m_0\sqrt{- \dot{x}^2},$ $\begin{matrix} (2) & {\dot{Икс}}^{2} "=" г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}, {\dot{Икс}}^{мю} "=" \frac{г {Икс}^{мю}}{г λ}, \end{matrix}$ $\dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}, \qquad \dot{x}^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}, \tag{2}$ где $\lambda$ является параметром мировой линии.
Канонический лагранжиан $4$ -импульс есть именно механический $4$ -импульс
$\begin{matrix} (3) & п_{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}} "=" \frac{м_{0} {\dot{Икс}}_{мю}}{\sqrt{- {\dot{Икс}}^{2}}}, {\dot{Икс}}_{мю} "=" г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{ν} . \end{matrix}$ $p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}} ~=~\frac{m_0\dot{x}_{\mu}}{\sqrt{-\dot{x}^2}}, \qquad \dot{x}_{\mu}~:=~g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\nu}. \tag{3}$
Энергетическая функция Лагранжа
$\begin{matrix} (4) & час "=" п_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} - л "=" 0 \end{matrix}$ $h~:=~p_{\mu}\dot{x}^{\mu}-L~=~0 \tag{4}$ исчезают одинаково. Это связано с тем, что действие квадратного корня (2) обладает репараметризационной инвариантностью мировой линии, которая является калибровочной симметрией. Обратите внимание, что $4$ -импульс (3) является репараметризационно-инвариантным. Часто используют статический манометр . $\begin{matrix} (5) & {Икс}^{0} "=" λ . \end{matrix}$ $x^0~=~\lambda.\tag{5}$
OP, по сути, размышляет, можно ли вместо действия с квадратным корнем (2) использовать действие без квадратного корня.
$\begin{matrix} (6) & \tilde{С} "=" \int_{λ_{я}}^{λ_{ф}} г λ \tilde{л}, \tilde{л} "=" \frac{м_{0}}{2} {\dot{Икс}}^{2} ? \end{matrix}$ $\tilde{S} ~=~ \int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \!d\lambda~ \tilde{L}, \qquad \tilde{L}~:=~ \frac{m_0}{2}\dot{x}^2~~? \tag{6}$ Ответ: Да. Соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) в обоих случаях являются уравнением геодезических, ср. например , этот пост Phys.SE.
Заметим, что неквадратное действие (6) не обладает инвариантностью к репараметризации мировой линии. Более того, для решения уравнений ЭЛ параметр мировой линии $\lambda$ и правильное время $\tau$ всегда аффинно связаны, ср. мой ответ Phys.SE здесь .
Канонический лагранжиан $4$ -импульс
$\begin{matrix} (7) & {\tilde{п}}_{мю} "=" \frac{\partial \tilde{л}}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}} "=" м_{0} {\dot{Икс}}_{мю} \end{matrix}$ $\tilde{p}_{\mu}~:=~\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}} ~=~m_0\dot{x}_{\mu}\tag{7}$ механический $4$ -импульс, если мы идентифицируем параметр мировой линии $\lambda$ и правильное время $\tau$ . (Подчеркнем, что это отождествление невозможно $\lambda=\tau$ перед изменением действия. Идентификация $\lambda=\tau$ возможно только в оболочке.)
Энергетическая функция Лагранжа
$\begin{matrix} (8) & \tilde{час} "=" {\tilde{п}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} - \tilde{л} "=" \tilde{л} \end{matrix}$ $\tilde{h}~:=~\tilde{p}_{\mu}\dot{x}^{\mu}-\tilde{L}~=~\tilde{L} \tag{8}$ это просто сам лагранжиан.
Лагранжиан с неквадратичным корнем (6) и соответствующий ему гамильтониан обсуждаются в работах 1 и 2.

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика, 2-е издание, разделы 7.9 и 8.4.
Г. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е издание, разделы 7.10 и 8.4.

Действие массивной свободной точечной частицы в релятивистской механике

пользователь71714

любопытный разум

любопытный разум

Qмеханик

пользователь71714

пользователь71714

Ответы (1)

Qмеханик

Уравнение Эйлера-Лагранжа в специальной теории относительности

Почему лагранжиан является отрицательным числом для релятивистской массивной точечной частицы?

Лагранжиан для релятивистской безмассовой точечной частицы

Универсальность принципа наименьшего действия, почему он работает? [дубликат]

Вывод действия Полякова

«Найти лагранжиан теории»

Вывод уравнения поля в теории Янга Миллса

Почему интеграл действия должен быть стационарным? На каком основании Гамильтон сформулировал этот принцип?

Почему общее действие должно иметь экстремум?

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?