Почему лагранжиан является отрицательным числом для релятивистской массивной точечной частицы?

На классическом уровне (в смысле$\hbar=0$), чтобы вывести уравнения Эйлера-Лагранжа (т.е. специальную релятивистскую версию 2-го закона Ньютона) из действия$S$, общий ненулевой (возможно, отрицательный) мультипликативный коэффициент не имеет значения. В этом случае нормировка выбирается так, чтобы лагранжиан

восстанавливает известное выражение для кинетической энергии (с точностью до аддитивной константы) в нерелятивистском пределе$v\ll c$. Так что, немного упрощая, отрицательный знак вызван огромной энергией покоя.$E_0=m_0c^2$. Обратите внимание, что аддитивная константа в лагранжиане не влияет на уравнения движения.

Аргумент, который я видел, состоит в том, что действие равно длине геодезической, т.е.

но мы знаем, что траектория свободной релятивистской частицы — это та, которая максимизирует длину пути. Итак, написав:

получаем действие, минимизируемое для правильного пути (т.$m$там, чтобы сделать размеры правильными).

Все эти заметки имеют важное и интересное физическое содержание; однако я предпочитаю твердую основу доказательства, данного в «Классической механике» Гольдштейна. Чтобы гамильтониан представлял полную релятивистскую энергию, лагранжиан должен иметь знак минус перед энергией покоя и неоднородным образом.

$L=-\frac{m_0c^2}{\gamma}-V \Longleftrightarrow h=\gamma m_0c^2+V$

Обратите внимание, что таким образом и лагранжиан, и гамильтониан уникальны.

Лагранжиан$L = T-V$описывает энергию движения минус энергия положения. Следовательно, отрицательный знак этого лагранжиана для релятивистского действия для массивной точечной частицы описывает торможение этой массивной частицы из-за огромной потенциальной энергии, которая всегда будет больше энергии ее движения.