Действительна ли комплексная обработка двумерных векторов?

Question

Действительна ли комплексная обработка двумерных векторов?

принцип Архимеда

Например, могу ли я рассматривать двумерный вектор положения как комплексное число вместо вектора, пытаясь вывести формулу для центростремительного ускорения при равномерном круговом движении.

р "=" р е^{я θ} \dot{р} "=" р я е^{я θ} \dot{θ} \ddot{р} "=" - р е^{я θ} {\dot{θ}}^{2}

$\mathbf{r}=re^{i\theta}\\ \mathbf{\dot{r}}=rie^{i\theta}\dot{\theta}\\ \mathbf{\ddot{r}}=-re^{i\theta}\dot{\theta}^2$

Которое представляет собой ускорение, направленное антипараллельно направлению вектора положения (т.е. к центру) и величине $r\dot{\theta}^2$

Я сделал это, потому что легче отличить $e^{kx}$ вместо того, чтобы следить за знаками синусов и косинусов.

Хавьер

Да, пока вы остаетесь в двух измерениях, это совершенно справедливо. Однако в более сложных случаях может оказаться не так просто разделить тангенциальные и нормальные компоненты.

Майкл Зайферт

Комментарий № 1: ваши уравнения выше предполагают, что

r

$r$ является константой. Это хорошо, но это должно быть указано явно и может быть неверным в некоторых обстоятельствах.

Майкл Зайферт

Комментарий № 2: этот трюк постоянно используется в физике. Это становится особенно приятно при работе с двумерными задачами, в которых важны магнитные поля или силы Кориолиса, и вам нужно брать перекрестные произведения. Получается, что векторное произведение любого вектора в

x y

$xy$ -плоскость с вектором в

z

$z$ -направление эквивалентно простому умножению соответствующего комплексного числа на

i

$i$ .

принцип Архимеда

Я предположил

r

$r$ как константу, потому что я вывел это для равномерного кругового движения.

Ответы (2)

Действительна ли комплексная обработка двумерных векторов?

Да, пока вы остаетесь в двух измерениях, это совершенно справедливо. Однако в более сложных случаях может оказаться не так просто разделить тангенциальные и нормальные компоненты.
Комментарий № 1: ваши уравнения выше предполагают, что $r$ является константой. Это хорошо, но это должно быть указано явно и может быть неверным в некоторых обстоятельствах.
Комментарий № 2: этот трюк постоянно используется в физике. Это становится особенно приятно при работе с двумерными задачами, в которых важны магнитные поля или силы Кориолиса, и вам нужно брать перекрестные произведения. Получается, что векторное произведение любого вектора в $xy$ -плоскость с вектором в $z$ -направление эквивалентно простому умножению соответствующего комплексного числа на $i$ .
Я предположил $r$ как константу, потому что я вывел это для равномерного кругового движения.

Руслан · Answer 1

Дифференциация не включает воображаемую единицу:

{\frac{г ф}{г Икс} |}_{{Икс}_{0}} ≜ \underset{Икс \to {Икс}_{0}}{лим} \frac{ф ({Икс}_{0}) - ф (Икс)}{{Икс}_{0} - Икс} .

$\left.\frac{df}{dx}\right|_{x_0}\triangleq\lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}.$

Более того, он еще и линейный, т.е.

\frac{г (а ф (Икс) + б г (Икс))}{г Икс} "=" а \frac{г ф (Икс)}{г Икс} + б \frac{г г (Икс)}{г Икс} .

$\frac{d(af(x)+bg(x))}{dx}=a\frac{df(x)}{dx}+b\frac{dg(x)}{dx}.$

Это означает, что и действительная, и мнимая части функции дифференцируются независимо. Таким образом, если ваше движение в $x$ и $y$ координаты представлены функцией типа $r=x+iy$ , то производная этой функции будет $\dot r=\dot x+i\dot y$ , это именно то, что вы хотите.

Так что да, такое лечение действительно.

StephenG - Помощь Украине · Answer 2

Я думаю, что это ужасный подход (и, как я объясню ниже, неправильное решение вашей реальной проблемы).

В вашем определении проблема в том, что:

р \cdot р \neq р^{2}

$\mathbf r \cdot \mathbf r \neq r^2$

Чтобы быть действительным представлением, оно должно равняться.

Поэтому вам нужно проявлять особую осторожность при обращении с вашими представительствами.

Я сделал это, потому что легче отличить $e^{kx}$ вместо того, чтобы следить за знаками синусов и косинусов.

Честно говоря, это очень слабая причина. Вам нужно развить (не очень сложный) навык знакомства с тригонометрическими функциями и манипулировать ими, а не избегать их.

Знаки слишком важны (особенно в физике), чтобы тратить время на их избегание.

Я бы не согласился с тем, что это ужасный подход. Это действительно упрощает некоторые расчеты. На самом деле, даже Ландау в своих книгах использует это в паре мест (например, движение заряда в постоянном магнитном поле — $\S21$ в «Классической теории поля »), и я не думаю, что он не был знаком с тригонометрическими функциями.
@StephenG Я не брал точечные продукты. Я дифференцировал. я лечил $r$ как константа, потому что это было для кругового движения.
@StephenG Кроме того, я пробовал то же самое для разных $r$ и $\theta$

Действительна ли комплексная обработка двумерных векторов?

принцип Архимеда

Хавьер

Майкл Зайферт

Майкл Зайферт

принцип Архимеда

Ответы (2)

Руслан

StephenG - Помощь Украине

Руслан

принцип Архимеда

принцип Архимеда

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Неоднозначность направления угловой скорости и углового смещения из соотношения ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Физический смысл членов ускорения в полярных координатах

Двигаются ли предметы в двух направлениях одновременно?

Вектор положения против полярных координат

Работает ли ньютоновская механика в полярных координатах?

Определение скорости в классической механике

Путаница с −g−gg в формуле

Разве скорость на орбите не всегда тангенциальна, а не радиальна и тангенциальна?

Когда векторы скорости и ускорения будут перпендикулярны? [закрыто]