В « Трактате » Витгенштейн пытается разрешить парадокс Рассела.
3.333. Функция не может быть своим собственным аргументом, потому что функциональный признак уже содержит прообраз своего собственного аргумента и не может содержать себя.
Если, например, мы предположим, что функция F(fx) могла бы быть своим собственным аргументом, то имело бы место предложение «F(F(fx))», и при этом внешняя функция F и внутренняя функция F должны иметь разные значения;
ибо внутреннее имеет вид g(fx), внешнее — форму h(g(fx)).
Общим для обеих функций является только буква «F», которая сама по себе ничего не означает. Это сразу становится ясно, если вместо «F(F(u))» написать «Существует g : F(gu). гу = Фу».
При этом парадокс Рассела исчезает.
Это работает или нужно заставить работать? (Предполагая, конечно, что это тот самый парадокс, который мы теперь знаем по имени Рассела).
некоторые определения из введения Рассела:
Из введения Рассела:
а. Пропозициональная функция — это функция, значениями которой являются предложения; например, «х — человек».
б. Функция истинности предложения p — это предложение, содержащее p и такое, что его истинность или ложность зависит только от истинности или ложности p .
в. Витгенштейн показывает, что каждая пропозициональная функция является функцией истинности.
Я думаю, что для понимания «решения» Витгенштейна необходимо учитывать исходный (исторический) контекст.
Витгенштейн был учеником и учеником Фреге и Рассела.
Согласно Фреге (см. его непосредственный ответ на письмо Рассела, сообщающее ему об открытии Парадокса), форма Парадокса Рассела ( f(f) ) не воспроизводима в логике Фреге, потому что синтаксические правила предписывают, чтобы имя функции имело пустое место, которое можно заполнить только именем объекта, а функции (в логике Фреге) не являются объектами . Сразу после этого Фреге смог воспроизвести Парадокс в своей собственной логике, но в более «сложной» формулировке.
Согласно Уайтхеду и Расселу Principia Mathematica, решением парадоксов (включая парадокс Рассела) была теория разветвленных типов. Эта теория с самого начала была подвергнута нескольким возражениям, включая трудность, связанную с формальным изложением самой теории в ПМ (ПМ не имеет четкого разделения между объектным языком и метаязыком, и поэтому нет четкой демаркации между объектным и метатеория).
Одним из предложенных Трактатом усовершенствований логики Фреге и Рассела является идея о том, что логическую форму нельзя описать: ее можно только показать. Правдоподобное прочтение этой идеи состоит в том, что правила синтаксиса уже заключены в самих знаках: возможность совмещения разных знаков сама по себе предотвращает парадоксальные конструкции (например, f(f) ).
Витгенштейн намекает на то, как сам Рассел решил парадокс — теорию разветвленных типов. Он намекает на это в:
3.332. Ни одно предложение не может ничего сказать о себе, потому что пропозициональный знак не может содержаться в себе самом (это и есть «вся теория типов»).
И он переформулирует как
3.333. Функция не может быть своим собственным аргументом, потому что функциональный признак уже содержит прообраз своего собственного аргумента и не может содержать себя.
Функциональный признак — это просто признак функции; функция заключается в том, что означает знак. Он расширяет то, что он имеет в виду под этим:
Если, например, мы предположим, что функция F(fx) могла бы быть своим собственным аргументом, то имело бы место предложение «F(F(fx))», и при этом внешняя функция F и внутренняя функция F должны иметь разные значения;
ибо внутреннее имеет вид g(fx), внешнее — форму h(g(fx)).
То есть F (F(fx)) отличается от F( F (fx)) тем, что в выражении они означают разные вещи, т. е. имеют разные значения или именно функции; и только знак «F» является общим для обоих, как он утверждает:
Общим для обеих функций является только буква «F», которая сама по себе ничего не означает.
и по
Это сразу становится ясно, если вместо «F(F(u))» написать «Существует g : F(gu). гу = Фу».
При этом парадокс Рассела исчезает.
Дэвид Х
Майкл
Мозибур Улла