Как определение числа Фреге решает проблему Юлия Цезаря?

Вот некоторый исторический контекст. В Grundlagen der Arithmetik (1884) Фреге представил свою злополучную аксиому V, теперь известную как аксиома неограниченного понимания : каждый предикат определяет класс удовлетворяющих ему объектов, называемый его расширением (собственная формулировка Фреге более техническая). Это привело к множеству всех множеств, а затем к парадоксу Рассела в 1901 году (очевидно, открытому Цермело до Рассела, см. Как Рассел пришел к парадоксу, демонстрирующему несостоятельность наивной теории множеств? ). Но уже во время написания Фреге уже знал, что полная сила аксиомы V не нужна ни для его доказательств, ни для вывода желаемых философских следствий. Достаточно было более слабого утверждения, так называемого принципа Юма.(это считалось еще до Юма, но принято только после Кантора, см. Mancosu's Measuring the Size of Infinite ):

Количество F такое же, как и количество G, когда между F и G существует однозначное соответствие.

Конечно, было труднее преподнести это как «закон мысли», и весь смысл логицизма Фреге состоял в том, чтобы вывести математику из логики, законов мысли. Но даже после того, как Рассел указал на проблему с множеством не принадлежащих самим себе множеств, Фреге не попытался спасти свою систему, переключившись на принцип Юма. Его, по-видимому, удержала «проблема Юлия Цезаря», изложенная как «третье сомнение» в Grundlagen §66:

В предложении [ " число F равно числу G"] [число F] играет роль объекта, и наше определение дает нам средство признать этот объект снова тем же самым, в случае, если оно должно было появиться в каком-то другом виде, скажем, как [число G]. Но это средство не подходит для всех случаев. Например, оно не решит за нас, является ли [Юлий Цезарь] тем же, что и [число ноль] — простите мне пример, выглядящий бессмысленным, естественно, никто не будет путать [Юлия Цезаря] с [числом ноль], но это не благодаря нашему определению [числа]. Это ничего не говорит о том, следует ли утверждать или отвергать утверждение [«количество F тождественно q»], за исключением одного случая, когда q дано в форме [«количество G»].Чего нам не хватает, так это концепции [числа]; ибо если бы у нас было это, то мы могли бы сформулировать, что, если q не является [числом], наше предложение должно быть отвергнуто , а если это [число], наше первоначальное определение решит, должно ли оно быть подтверждено. или отказано. "[жирный мой]

Здесь Фреге говорит, что простой принцип Юма не позволяет нам различать числа и не числа (как Юлий Цезарь), потому что отсутствует понятие числа. Нам нужно определение чисел, а не просто правило установления их равенства в частном случае. Аксиома V дает такое определение (например, число ноль есть расширение понятия, под которое ничего не подпадает, т. е. нулевое множество), а принцип Юма — нет. Хорошим обзором смежных вопросов является «Возражение Юлия Цезаря» Хека , который делает интересный комментарий:

"После всего сказанного возникает вопрос, почему, получив известное письмо Рассела, Фреге просто не отбросил аксиому V, не установил принцип Юма в качестве аксиомы и не заявил, что он в любом случае установил логицизм. Вопрос представляет не только исторический интерес. Хотя сам Фреге его не принимал, эта позиция казалась некоторым достойным наследником фрегевского логицизма: согласно одной из его версий, принцип Юма рассматривается как воплощающий объяснение понятия числа, откуда, хотя он и не является принцип логики, возможно, он занимает такое же привилегированное эпистемологическое положение... Исторический вопрос становится насущным благодаря тому факту, что в письме к Расселу Фреге прямо рассматривает принятие принципа Юма в качестве аксиомы, отмечая только, что «трудности здесь» не такие, как те, которые преследуют Axiom V."

В двух словах, проблема возникает из-за определения числа как понятия второго порядка (т.е. числового квантора) в Die Grundlagen der Arithmetik (1884).

Рассмотрим, например , 0xϕ(x)=df Card[xy] (y ≠ y) [ϕx] , что гласит:

Утверждение 0xϕ (x) означает утверждение, что объекты, которые являются ϕ , находятся во взаимно-однозначной корреляции с объектами, которые не являются самотождественными,

т.е. нет объектов, которые являются ϕ .

Здесь мы определили понятие «второго порядка» (предикат 0x(ξ) предиката первого порядка ϕ(x) ). Но мы не определили, что такое число 0 .

С таким определением, как мы можем ответить на вопрос:

«Предложение вида «Число F = q » ложно, если q не является числом»

(где парадигматический пример с Юлием Цезарем вместо «имени» q )?

В «логически совершенном» языке, рассматриваемом Фреге, каждый единичный термин («имя») должен иметь обозначение ( Beduetung ), и каждая функция должна быть определена для каждого возможного аргумента (каждое понятие должно быть «четко определено»).

Например, если ' q ' является сингулярным термином, его семантическая интерпретация должна фиксировать условия истинности ' q = y ' для любого данного объекта y .

В случае попытки Фреге определить количественные числа проблема состоит в том, что предоставленный критерий принадлежности числа к понятию ϕ не определяет Bedeutung числовых слов полностью и, таким образом, не оправдывает определенный артикль «the». '.

«Зрелое» решение Фреге в Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903) основано на введении курсов ценности ( Wertverläufe ):

Bedeutung сингулярного члена ' ε´ φ(ε) ' является курсом значений функции φ(ξ) ,

что исключает, что предложение вида ' ε´ ϕ(ε) = q ' истинно, когда q не является курсом-ценностью.

В литературе ведутся жаркие споры о том, действительно ли теория курса ценности решает проблему Юлия Цезаря.

Цезарь может быть определен как число или нет? Как считал Фреге, числа нельзя применять к неопределенному Миру. Числа не рождаются из ощущений. Цифры — это не наши мысли, потому что мысли у разных людей разные. Поэтому мы не можем определить Цезаря как число. Вопрос к Фреге, какого Цезаря мы будем ставить числом, например 1. Во внешнем Мире все меняется.