Диагонализация модели Хаббарда для бесспиновых фермионов в одномерном kkk-пространстве

В реальном пространстве мы пишем базисный вектор для бесспиновых фермионов в двоичной записи, например, если есть$M=4$сайты в системе и$N=2$фермионов, то базисные векторы будут:$0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100$. Гамильтониан в числовой форме ($H=-t\sum_{<j,j+1>}(c_j^\dagger c_{j+1}+h.c.)+U\sum_{<j,j+1>}n_jn_{j+1}$) можно написать просто, используя побитовые операции C/C++, Fortran или MATLAB. Видна прыгающая часть$H$недиагональна, а часть взаимодействия диагональна в реальном пространстве.

Когда мы работаем в пространстве Фурье, Гамильтон становится

$$\tilde{H}=\sum_k\epsilon_k\tilde{c_k^\dagger}\tilde{c_k} + \sum_k\tilde{U_k}\tilde{n_k}\tilde{n_{-k}}$$ с$\epsilon_k=-2t\cos{k}$и$\tilde{U}_k=\frac{1}{L}\sum_j U(j) e^{-ik.j}$как описано в этом pdf .

---

Чего я не могу понять, так это того, как мы определяем наш базисный вектор в пространстве Фурье?

Мое понимание этого:

Что я понял из этого, так это то, что пусть у нас есть 1D-линия из$-\pi$к$+\pi$(первая миллиардная зона), на которой$k$точки незаметно определить. Если у нас есть M=4 и N=2, то множество$k$-очки$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,$+\frac{\pi}{2}$,$+\pi$
Теперь, рассматривая эти 4 точки как места, на которых могут находиться фермионы, наши базисные векторы могут быть снова заданы так, как они были заданы в реальном пространстве, т.е.$0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100$.
Для простоты я беру ограничение$U=0$и вычислить гамильтониан как для реального случая, так и для случая пространства Фурье.
РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО:

$$H_{R}=-t\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0& 1& 1& 0& -1\\ 0 & 1& 0& 0& 1& 0\\ 0 & 1& 0& 0& 1& 0\\ -1 & 0& 1& 1& 0& 1\\ 0 & -1& 0& 0& 1& 0\\ \end{bmatrix}$$ Пусть t = 1, тогда собственные значения = [-2, -2, -4.4e-16, 0, 2, 2] (с использованием функции MATLAB eig() )

ПРОСТРАНСТВО ФУРЬЕ:

$\tilde{c_k^{\dagger}}\tilde{c_k}=\tilde{n_k}=$числовой оператор в k-пространстве. Таким образом, наш гамильтониан для U=0 должен быть диагональным со значениями

$$H_{F}= -2t*diagonal[\cos{(\pi/3)}+\cos{\pi}, \cos{(-\pi/3)}+\cos{\pi}, \cos{(-\pi/3)}+\cos{(\pi/3)}, \cos{(-\pi)}+\cos{\pi}, \cos{(-\pi)}+\cos{(\pi/3)}, \cos{(-\pi)}+\cos{(-\pi/3)}]$$

$$=-t\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

для t=1 собственные значения=[-2, 1, 1, 1, 1, 4].

---

результаты не совпадают, я считаю, что в моем методе определения базисных векторов в$k$-космос. Итак, пожалуйста, объясните, как правильно построить базисные векторы в$k$-космос.