Диагонализация операторов в квантовой механике

Question

Диагонализация операторов в квантовой механике

Марион

Позволять $\mathcal{H}$ быть гильбертовым пространством. Рассмотрим произвольный и недиагональный унитарный оператор $O: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ который действует на начальное квантовое состояние $|\psi_0\rangle \in \mathcal{H}$ создание нового квантового состояния

| ψ ⟩ "=" О | ψ_{0} ⟩ .

$|\psi\rangle = O|\psi_0\rangle.$ Теперь предположим, что либо

O

$O$ легко диагонализируется, или что кто-то может эффективно диагонализовать его для нас. Позволять

O^{'}

$O'$ быть диагонилизацией

O

$O$ .

Теперь я хочу понять, что происходит, когда я измеряю математическое ожидание этой наблюдаемой в любой основе $O$ . Т.е. я хочу понять, при каких условиях

⟨ О ⟩ "=" ⟨ ψ_{0} | О | ψ_{0} ⟩ "=" ⟨ ψ | О | ψ ⟩ "=" ⟨ О^{'} ⟩ .

$\langle O \rangle = \langle \psi_0|O|\psi_0\rangle = \langle \psi|O|\psi\rangle =\langle O' \rangle .$ Кроме того, мне интересно понять, если для второго унитарного оператора

H

$H$ , равенство математических ожиданий

⟨ O ⟩ = ⟨ O^{'} ⟩

$\langle O \rangle = \langle O' \rangle$ означает, что также

⟨ ЧАС О ⟩ "=" ⟨ ЧАС О^{'} ⟩ .

$\langle HO \rangle = \langle HO' \rangle.$

Космас Захос

Ваш унитарный оператор

O = \exp (i M)

$O=\exp (iM)$ для M эрмитова, следовательно

M = U N U^{- 1}

$M=U N U^{-1}$ для N диагонали. Так

O = U O^{'} U^{- 1}

$O=U O' U^{-1}$ . Теперь вы можете сравнить соответствующие элементы матрицы. Какой вывод?

Марион

Что ж, как обсуждается также в ответе ниже, я заключаю, что диагонализация эквивалентна преобразованию исходного состояния как

| ψ ⟩ \to U^{- 1} | ψ ⟩

$|\psi \rangle \to U^{-1}|\psi \rangle$ . Итак, как он говорит, это изменение основы. Наивно это эквивалентно (как всегда ненаблюдаемому) калибровочному преобразованию. Мои вопросы в основном сводятся к тому, как существуют какие-либо ограничения на это.

Космас Захос

Но вы понимаете, что это изменение базы не включено в ожидаемое значение, которое вы написали, это просто матричный элемент, верно?

Марион

Конечно. Полностью понял.

Ответы (1)

Диагонализация операторов в квантовой механике

Ваш унитарный оператор $O=\exp (iM)$ для M эрмитова, следовательно $M=U N U^{-1}$ для N диагонали. Так $O=U O' U^{-1}$ . Теперь вы можете сравнить соответствующие элементы матрицы. Какой вывод?
Что ж, как обсуждается также в ответе ниже, я заключаю, что диагонализация эквивалентна преобразованию исходного состояния как $|\psi \rangle \to U^{-1}|\psi \rangle$ . Итак, как он говорит, это изменение основы. Наивно это эквивалентно (как всегда ненаблюдаемому) калибровочному преобразованию. Мои вопросы в основном сводятся к тому, как существуют какие-либо ограничения на это.
Но вы понимаете, что это изменение базы не включено в ожидаемое значение, которое вы написали, это просто матричный элемент, верно?

Николас Алвес · Answer 1

Диагонализация оператора означает просто изменение используемого вами базиса в гильбертовом пространстве. По сути, идея состоит в том, что вместо того, чтобы записывать, например, состояния как

| ψ ⟩ "=" а | + ⟩ + б | - ⟩,

$|\psi\rangle = a|+\rangle + b|-\rangle,$ ты бы написал

| ψ ⟩ "=" α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩,

$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,$ так что выражение действия

O

$\mathcal{O}$ было бы проще. А именно, вы могли бы иметь, например,

О | ψ ⟩ "=" α О | 0 ⟩ + β О | 1 ⟩ "=" β | 1 ⟩,

$\mathcal{O}|\psi\rangle = \alpha\mathcal{O}|0\rangle + \beta\mathcal{O}|1\rangle = \beta|1\rangle,$ где я предполагал

O | 0 ⟩ = 0

$\mathcal{O}|0\rangle = 0$ и

O | 1 ⟩ = | 1 ⟩

$\mathcal{O}|1\rangle = |1\rangle$ просто для примера.

Короче говоря, оператор не меняется. Его матричные элементы (числа $\langle n | \mathcal{O} | m \rangle$ , где $\lbrace| n \rangle\rbrace$ является выбранной основой) меняются, но $\mathcal{O}$ сам по себе является абстрактным оператором, не зависящим от базиса.

Спасибо. По сути, я спрашиваю, есть ли какие-либо оговорки по этому поводу. Вы говорите что-то очень фундаментальное: математическое ожидание наблюдаемого не зависит от того, на каком основании вы его измеряете. Мне интересно, есть ли потенциальные исключения? Например, некоторые люди иногда обсуждают ослабление унитарности.
@Marion Исключений нет, ожидаемое значение не зависит от базиса. Способ заметить это состоит в том, что действие оператора над состоянием определено абстрактно, без какого-либо упоминания о выборе базиса (вы написали $|\psi\rangle = O |\psi_0\rangle$ , например, даже не выбирая базиса), как и внутренний продукт. Изменение базиса никогда не меняет оператора, только его матричные элементы, поэтому все ожидаемые значения остаются теми же самыми.
Большое спасибо. Это было полезно.

Диагонализация операторов в квантовой механике

Марион

Космас Захос

Марион

Космас Захос

Марион

Ответы (1)

Николас Алвес

Марион

Николас Алвес

Марион

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Почему преобразования симметрии, связанные с тождеством, обязательно представляются линейными унитарными операторами?

Унитарное условие времени

Можно ли любой линейный, но неунитарный «оператор эволюции времени» нормализовать до унитарного?

Почему преобразования в квантовой механике линейны?

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике