Переходная теплопроводность с переменным тепловым потоком в 1D

У меня есть металлический блок, нагретый переменным во времени тепловым потоком на одной из его граней (предположим, что он бесконечен в других измерениях). Я хотел бы вычислить температуру с течением времени в определенной точке этого блока.

Я нашел уравнение,

Т ( Икс , т ) "=" Т л + 2 ф α ⋅ т π λ опыт ⁡ ( − Икс 2 4 ⋅ α ⋅ т ) − ф ⋅ Икс λ ⋅ эрфц ( Икс 2 α ⋅ т ) ,
что дает температуру в данной точке твердого тела в данный момент времени в 1D, где
ф "=" Плотность теплового потока α "=" λ / ( р . С п ) : Температуропроводность λ "=" Теплопроводность , и С п "=" Теплоемкость .
Однако это уравнение работает только для постоянного теплового потока в течение времени т .

Хотелось бы найти подобное уравнение, учитывающее переменный тепловой поток. То есть необходимо учитывать историю теплового потока, который данная точка видела до текущего момента времени.

Если нет точного решения этой проблемы (тепловой поток произволен), я попробую использовать дифференциальное уравнение, если численное приложение легко выполнимо в Excel или подобном.

Ответы (1)

Поскольку уравнение теплопроводности является линейным, это можно сделать в виде интеграла свертки. Позволять

Г ( Икс , т ) "=" Т * ( Икс , т ) − Т 1 ) ф *
где Т * ( Икс , т ) ваше существующее решение с постоянным тепловым потоком ф * . Тогда для переменного теплового потока решение
Т ( Икс , т ) "=" Т 1 + ∫ 0 т Г ( Икс , т − т ) г ф г т г т
где т является фиктивной переменной интегрирования. Вы также можете интегрировать по частям и получить еще более простой интеграл через частную производную от Г в отношении т , и ф ( т − т ) .

Вы уверены в г ф / г т , разве это не должно быть просто ф ( т ) ? У меня возникли проблемы с кодированием вашего предложения в Excel. Но с ф ( т ) , результаты, кажется, имеют физический смысл.
Вы можете получить его с точки зрения ф ( т ) или ф ( т − т ) путем интегрирования по частям. Но форма, которую я дал, также правильна в ее нынешнем виде.
После интегрирования по частям альтернативная форма
Т ( Икс , т ) "=" Т 1 + ∫ 0 т ф ( т − т ) ∂ Г ( Икс , т ) ∂ т г т
Не могли бы вы объяснить мне, как вы пришли к этому уравнению? Я действительно не уверен в г ф / г т . Если поток постоянен, то T(x,t) никогда не увеличивается. Я кодировал в Excel T*, T (как вы написали) и T с ф вместо г ф / г т . Однако ни один из этих двух не соответствует T* (см. этот график).
Если поток постоянный, начиная с момента времени = 0, то phi разрывна, а phi/dt является дельта-функцией Дирака. ф 0 дельта ( т ) . Тогда интеграл примет вид, что и требовалось, $$\phi_0 \Gamma(x,t). Знакомы ли вы с характеристиками дельта-функции Дирака?
Как вы это интегрировали? T для постоянного потока, очевидно, должно точно соответствовать T*.
Согласен, они должны точно совпадать, но я не могу найти подходящее решение ( см. этот файл )
Я не знаю, о чем вы спрашиваете. Вы спрашиваете о выводе уравнения в моем ответе или спрашиваете, как применить уравнение?
Переходная теплопроводность с переменным тепловым потоком в 1D
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v