Изолированные концы стержня

Обычно определяют производную функции в точке$x=a$как

$$f'(x)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Действительно, это определение предполагает, что этот предел имеет одно и то же значение, независимо от того,$x$подходы$a$снизу или сверху.

Однако можно определить производную функции, выходящей из точки только с одной стороны. Например, левые и правые производные определяются как

$$f'_-(a)=\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ и $$f'_+(a)=\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$ где$x \to a^-$Значит это$x$подходы$a$снизу и$x \to a^+$Значит это$x$подходы$a$сверху.

Чтобы производная функции существовала при$x=a$нам нужно иметь$f'_-(a)=f'_+(a)$(и это должно быть конечным), и мы просто обозначаем его как$f'(a)$.

Сейчас если$f$определяется на интервале, скажем$f:[a,b],$мы явно не можем вычислить$f'_-(a)$, но мы все еще можем говорить о$f'_+(a)$.

В вашей проблеме у вас по сути есть функция$T:[0,L]$, так что вы можете только вычислить$T'_+(0)$в$x=0$, что и подразумевается под граничным условием. По существу предполагается, что на границе вы вычисляете производную снизу или сверху, которая имеет отношение к этой конкретной границе.

Технически граничное условие на$x=0$дело не в том, что производная равна нулю, а в том, что правая производная равна нулю. Просто они неаккуратны. Точно так же при$x=L$, левая производная равна нулю. Обозначение похоже на$\text{d}T/\text{d}x$, кроме первого$\text{d}$имеет$+$в качестве подписки. Итак, у нас есть

$$\frac{\text{d}_+T}{\text{d}x} = 0$$ в$x=0$, и $$\frac{\text{d}_-T}{\text{d}x} = 0$$ в$x=L$.

Функции каждой переменной на стержне непрерывны слева и дифференцируемы справа при$x=0$, а также непрерывным справа и дифференцируемым слева при$x=L$. Дополнительную информацию см. в этой статье .