Путаница с законом Фурье

Согласно учебнику, который я читаю ( Основы тепло- и массообмена Инкропера), закон теплопроводности Фурье,$q_x=-kA\frac{dT}{dx}$, это закон, основанный на экспериментальных данных, а не выведенный из первых принципов. Далее в книге описывается эксперимент, на котором основан закон. Стержень имеет длину$\Delta x$, площадь поперечного сечения$A$, а его торцы имеют разность температур$\Delta T$. Держа$\Delta T$и$\Delta x$постоянной, находим, что скорость теплопроводности$q_x$прямо пропорциональна площади поперечного сечения$A$. Держа$\Delta T$и$A$постоянна, находим, что$q_x$обратно пропорциональна длине стержня$\Delta x$. Наконец, держа$\Delta x$и$A$постоянна, находим, что$q_x$прямо пропорциональна разнице температур между торцами стержня,$\Delta T$. Все эти результаты могут быть упакованы в пропорциональность$q_x\propto A\frac{\Delta T}{\Delta x}$.

Проблема у меня с этим в том, что в учебнике указано только, что есть разница температур$\Delta T$между концами стержня. В нем не указано, как изменяется температура между концами стержня. Это линейно? Если да, то имеет ли отношение$q_x\propto A\frac{\Delta T}{\Delta x}$справедливо только для стержня, который имеет линейное изменение температуры по его длине?

Это всего лишь предположение, но, возможно, текст подразумевает, что, поскольку температура будет изменяться линейно на бесконечно малых длинах, когда вы принимаете предел как$\Delta x$стремится к нулю, мы можем просто применить закон Фурье для каждой бесконечно малой длины стержня и проинтегрировать?