Дисперсия импульса в импульсном пространстве для частицы в ящике

В моем задании меня просят вычислить волновую функцию импульсного пространства n-го энергетического собственного состояния частицы в одномерной бесконечной квадратной яме, а затем «показать, что ваш результат согласуется с принципом неопределенности».

Волновая функция импульсного пространства, которую я получил, выглядит следующим образом:

ф ( п ) "=" н π ℏ л 3 п 2 п 2 − ( н π ℏ / л ) 2 ( 1 − ( − 1 ) н е − я п л / ℏ )

с соответствующей плотностью вероятности

| ф ( п ) | 2 "=" 2 π н 2 ℏ л 3 ( п 2 п 2 − ( н π ℏ / л ) 2 ) 2 ( 1 − ( − 1 ) н потому что ⁡ л ℏ п )

Поскольку это странно, очевидно, что ⟨ п ⟩ "=" 0 . Однако я не могу понять, как сделать интеграл ∫ − ∞ ∞ п 2 | ф ( п ) | 2 г п чтобы получить ⟨ п 2 ⟩ , хотя я мог бы легко вычислить ⟨ п 2 ⟩ используя волновую функцию позиционного пространства. Я также не мог заставить Mathematica сделать это. Должен ли я просто сказать своему профессору, что это невозможно сделать так, как он хотел?

Ответы (1)

Оставайтесь в позиционном пространстве, с ф ( Икс ) , потому что исчисление намного проще, потому что ф ( Икс ) являются грех функции, см. Вики .

Помните, что в пространстве позиций у нас есть: п ^ "=" − я ℏ ∂ ∂ Икс и п ^ 2 "=" − ℏ 2 ∂ 2 ∂ Икс 2

Так что если ф н ( Икс ) ваша нормализованная волновая функция в бесконечном квадратном колодце между Икс "=" а и Икс "=" б , у вас есть :

⟨ п ^ ⟩ н "=" ∫ а б ф н * ( Икс ) ( − я ℏ ∂ ∂ Икс ) ф н ( Икс )

⟨ п ^ 2 ⟩ н "=" ∫ а б ф н * ( Икс ) ( − ℏ 2 ∂ 2 ∂ Икс 2 ) ф н ( Икс )

Используя эти рекомендации, попробуйте найти решение самостоятельно, а затем сравните с решением.
Дисперсия импульса в импульсном пространстве для частицы в ящике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v