Интегрирование по частям для получения d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

Question

Интегрирование по частям для получения d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

Апейрон

Я читаю «Введение в квантовую механику» Дэвида Гриффитса, и у меня возникают проблемы с пониманием части вывода $\frac{d\langle x\rangle }{dt}$ в разделе 1.5 - Импульс - текста.

Автор дает EQN 1.29 как

\frac{г ⟨ Икс ⟩}{г т} "=" \frac{я ℏ}{2 м} \int_{- \infty}^{\infty} Икс \frac{\partial}{\partial Икс} [\frac{\partial Ψ}{\partial Икс} Ψ^{*} - \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial Икс} Ψ] г Икс

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = \frac{i \hbar}{2m} \int _{-\infty} ^{\infty} x \frac{\partial }{\partial x} \left[ \frac{\partial \Psi}{\partial x}\Psi^* - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right] dx$

Затем он выполняет интегрирование по частям, говоря в качестве сноски:

Таким образом, под знаком интеграла вы можете отделить производную от одного фактора в произведении и наложить ее на другой — это будет стоить вам знака минус, и вы получите граничный член.

и получает EQN 1.30:

\frac{г ⟨ Икс ⟩}{г т} "=" - \frac{я ℏ}{2 м} \int_{- \infty}^{\infty} (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial Икс} - \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial Икс} Ψ) г Икс

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = -\frac{i\hbar}{2m} \int _{-\infty} ^{\infty} \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^* }{\partial x}\Psi \right) dx$

Он повторяет интегрирование по частям, чтобы получить 1,31:

\frac{г ⟨ Икс ⟩}{г т} "=" - \frac{я ℏ}{м} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial Икс} г Икс

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = -\frac{i\hbar}{m} \int _{-\infty} ^{\infty} \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx$

Я не уверен, как это интегрирование по частям. Во всех интегрированиях по частям, которые я когда-либо делал, было получено два члена. Он упоминает второй термин, говоря:

Я использовал тот факт, что $\frac{\partial x}{\partial x} = 1$ , и отбросил граничный член на том основании, что $\Psi$ стремится к нулю в $\pm$ бесконечность.

Я видел это уравнение, размещенное на Stack Exchange для аналогичного вопроса:

\int (\frac{\partial}{\partial Икс} ф (Икс)) г (Икс) г Икс "=" \int ф (Икс) (- \frac{\partial}{\partial Икс} г (Икс)) г Икс,

$\int\left(\frac{\partial}{\partial x}f(x)\right)\ g(x)\ \text dx=\int\ f(x)\left(-\frac{\partial}{\partial x}g(x)\right)\ \text dx,$

в Как доказать dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика

Это правда вообще? Как происходит это интегрирование по частям? Почему мы можем отбросить другой термин? Как интегрирование по частям приводит к 1.31?

любопытный разум

Он тебе рассказывает, почему он выкинул второй член во второй твоей цитате! Он предполагает, что

lim_{x \to \pm \infty} ψ (x) = 0

$\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x) = 0$ , поэтому граничный член оценивается как

0

$0$ . (Заметим, что это допущение является дополнительным допущением, оно не следует из

ψ

$\psi$ интегрируемость с квадратом, что часто утверждается)

Апейрон

@ACuriousMind Какой второй срок? Уравнение, которое дает символическое представление «отделения производной от одного фактора…», не имеет второго члена. Я не уверен, какой термин он опустил.

ихароб

Это требование,

lim_{x \to \pm \infty} ψ (x) = 0

$\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\psi(x) = 0$ , это должно быть в книге. Это требование, потому что волновая функция не может расходиться, чтобы быть допустимой плотностью вероятности, представляющей существующую частицу, поэтому она должна быть где-то с плотностью вероятности

ψ (x) ψ^{*} (x)

$\psi(x)\psi^{*}(x)$ которое должно быть конечным действительным числом.

Апейрон

Часть, которую я не понимаю, еще не состоит в том, что какой бы второй член ни стремился к нулю, это то, как работало его интегрирование по частям. Что такое u, v, du, dv и что такое второй член. Я видел уравнение, которое дает его отношения, но я не понимаю, что это такое, откуда оно взялось и верно ли оно вообще.

Алан

Для ∫ u dv = uv - ∫ v du ваше u = x и ваше v = ψ'ψ* - ψ*'ψ, и член uv обращается в нуль.

Ответы (2)

Интегрирование по частям для получения d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

Он тебе рассказывает, почему он выкинул второй член во второй твоей цитате! Он предполагает, что $\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x) = 0$ , поэтому граничный член оценивается как $0$ . (Заметим, что это допущение является дополнительным допущением, оно не следует из $\psi$ интегрируемость с квадратом, что часто утверждается)
@ACuriousMind Какой второй срок? Уравнение, которое дает символическое представление «отделения производной от одного фактора…», не имеет второго члена. Я не уверен, какой термин он опустил.
Это требование, $\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\psi(x) = 0$ , это должно быть в книге. Это требование, потому что волновая функция не может расходиться, чтобы быть допустимой плотностью вероятности, представляющей существующую частицу, поэтому она должна быть где-то с плотностью вероятности $\psi(x)\psi^{*}(x)$ которое должно быть конечным действительным числом.
Часть, которую я не понимаю, еще не состоит в том, что какой бы второй член ни стремился к нулю, это то, как работало его интегрирование по частям. Что такое u, v, du, dv и что такое второй член. Я видел уравнение, которое дает его отношения, но я не понимаю, что это такое, откуда оно взялось и верно ли оно вообще.
Для ∫ u dv = uv - ∫ v du ваше u = x и ваше v = ψ'ψ* - ψ*'ψ, и член uv обращается в нуль.

Сэм · Answer 1

Возможно, будет немного понятнее, если вы сократите содержимое скобок (а также опустим константы):

\frac{г ⟨ Икс ⟩}{г т} \propto \int_{- \infty}^{\infty} Икс \frac{\partial}{\partial Икс} [\dots] г Икс

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} \propto \int _{-\infty} ^{\infty} x \frac{\partial }{\partial x} \left[ \ldots\right] dx$

"=" \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial Икс} (Икс [\dots]) г Икс - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial Икс}{\partial Икс} [\dots] г Икс

$= \int _{-\infty} ^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left(x \left[ \ldots\right] \right)dx - \int _{-\infty} ^{\infty} \frac{\partial x}{\partial x} \left[ \ldots\right] dx$

Первый член — это граничный член, который, как вы обсуждали с ACuriousMind, стремится к нулю. Что еще более важно, производная от $[\ldots]$ перешел на $x$ на второй срок

Где конечно $\frac{\partial x}{\partial x} = 1$

Отсюда и результат:

\frac{г ⟨ Икс ⟩}{г т} "=" - \frac{я ℏ}{2 м} \int_{- \infty}^{\infty} (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial Икс} - \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial Икс} Ψ) г Икс

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = -\frac{i\hbar}{2m} \int _{-\infty} ^{\infty} \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^* }{\partial x}\Psi \right) dx$

Редактировать:

На последний вопрос: Нет, это утверждение в общем случае неверно. Только иногда нам разрешается отбрасывать граничный член (это зависит от физической ситуации, а не от математики).

Вы помните, как происходит интегрирование по частям? Из правила продукта:

\frac{г (ф г)}{г Икс} "=" \frac{г ф}{г Икс} г + ф \frac{г г}{г Икс}

$\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g + f\frac{dg}{dx}$

Затем переставьте:

\frac{г ф}{г Икс} г "=" \frac{г ф г}{г Икс} - ф \frac{г г}{г Икс}

$\frac{df}{dx}g = \frac{dfg}{dx} - f\frac{dg}{dx}$

Затем интегрируйте обе стороны:

\int_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} \frac{г ф}{г Икс} г г Икс "=" \int_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} \frac{г (ф г)}{г Икс} г Икс - \int_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} ф \frac{г г}{г Икс} г Икс

$\int_{x_0}^{x_1}\frac{df}{dx} g dx = \int_{x_0}^{x_1}\frac{d(fg)}{dx}dx - \int_{x_0}^{x_1} f\frac{dg}{dx}dx$

Если производная и интеграл от первого члена RHS сокращаются и становятся

\int_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} \frac{г ф}{г Икс} г г Икс "=" ф г |_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} - \int_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} ф \frac{г г}{г Икс} г Икс

$\int_{x_0}^{x_1}\frac{df}{dx} g dx = fg |_{x_0}^{x_1}- \int_{x_0}^{x_1} f\frac{dg}{dx}dx$

Мы говорим, что знаем $fg$ в $x_0$ и $x_1$ (т.е. границы) равно нулю, поэтому мы опускаем этот термин. Тогда конечным результатом будет то, что мы поменяли производную с f на g за счет изменения знака.

Спасибо. Теперь я понимаю намного лучше. Это отношение может быть получено из правила произведения. Уравнение в моем вопросе вообще не верно, за исключением случаев, когда fg -> 0 в пределах интеграла.
@Apeiron Рад, что это помогло :) (и да, где я сказал цепное правило, я имел в виду правило продукта).

CR Дрост · Answer 2

производная от $x f(x)$ является $x f'(x) + f(x)$ , и вот вы интегрируете $k \int_{-\infty}^\infty dx ~ x ~ f'(x)$ для некоторой константы $k$ , и какая-то сложная функция $f$ . Когда вы интегрируете это по частям, вы повышаете $f' dx$ и ниже $x$ найти:

к \int_{- \infty}^{\infty} г Икс Икс ф^{'} (Икс) "=" к {[Икс ф (Икс)]}_{- \infty}^{\infty} - к \int_{- \infty}^{\infty} г Икс ф (Икс) .

$k \int_{-\infty}^\infty dx ~ x ~ f'(x) = k \left[x ~f(x)\right]_{-\infty}^{~\infty} - k \int_{-\infty}^\infty dx ~ f(x).$ Гриффитс просто добавляет, что он ожидает

f (x)

$f(x)$ стремиться к нулю быстрее, чем

1 / x

$1/x$ , так как это затруднит нормализацию системы. Таким образом, первый член стремится к нулю на обеих границах, и у вас остается только второй член.

Интегрирование по частям для получения d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

Апейрон

любопытный разум

Апейрон

ихароб

Апейрон

Алан

Ответы (2)

Сэм

Апейрон

Сэм

CR Дрост

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Как доказать Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩Tr[|α⟩⟨α|A^]=⟨α|A^|α⟩\mathrm{Tr}[| \alpha\rangle\langle\alpha|\шляпа{A}]=\langle\alpha|\шляпа{A}|\alpha\rangle

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Ортогональность суммированных волновых функций

Коммутатор положения и импульса

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)