Оператор сдвига (интегральное исчисление с использованием полиномов Эрмита) [закрыто]

Один из способов сделать это — по индукции, сначала по$n$а потом дальше$l$. Базовый случай прост, так как$H_0(x)$постоянна, а интеграл является простым гауссианом; интеграл для$n=1$и$l=0$также легко. Затем исправить$l=1$и примем формулу для произвольного$n$. Тогда можно доказать формулу для$n+1$используя рекуррентное соотношение для$H_{n+1}$,

$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_n(x),$$ изменение $2x$множитель для производной по $k$, и применяя рекуррентное соотношение для многочлена Лагерра в правой части. Это докажет общий случай при $l=1$. Затем, используя аналогичную процедуру индукции для $1\leq l\leq n$докажет полное утверждение.

Я знаю, что это некрасиво, но это должно сработать.

Другая возможность состоит в том, чтобы сделать то, что делают все остальные: свести его к матричному элементу$\langle m|\hat{D}(\alpha)|n\rangle$а затем слепо цитируют * Кэхилла и Глаубера (Упорядоченные разложения в операторах амплитуды бозонов. Phys. Rev. 177 № 5 (1969), стр. 1857-1881, Приложение B ). Что они делают, если верить моим тезисам, так это сравнивают матричный элемент

$$\langle m|\hat{D}(\beta)|\alpha\rangle=\langle m|e^{\frac12 (\beta\alpha^\ast-\beta^\ast\alpha)}|\alpha+\beta\rangle=\frac{1}{\sqrt{m!}}(\beta+\alpha)^m e^{-\frac12|\beta|^2-\frac12|\alpha|^2-\beta^\ast\alpha}$$ производящей функции многочленов Лагерра, $$(1+y)^m e^{-xy}=\sum_{n=0}^\infty L_n^{(m-n)}(x) y^n$$ (что справедливо для всех $y\in\mathbb{C}$; брать $y=\beta/\alpha$до сопряженных) и оттуда к исходному, расширяющему когерентное состояние $|\alpha\rangle$в расширении числового состояния, сравнивая коэффициенты $\alpha^n$.

(Учтите также, что вам придется выполнять вращение до сложного$k$. Это потому, что ваш интеграл имеет форму$\langle m|e^{k\hat{x}}|n\rangle$и на самом деле$k$Оператор$e^{k\hat{x}}$не является унитарным. Это также приводит к желаемому результату в гораздо более приятной форме.$L_{m_<}^{|n-l|}(k^2/2)e^{-\frac14 k^2}$, который колеблется при малых$k$а потом распадается. Изменение$k$для$ik$действителен, потому что обе части вашего целевого равенства являются целыми функциями$k\in\mathbb{C}$, и достаточно доказать их равенство на одной оси с помощью аналитического продолжения .)

Если вы спросите меня, это так же уродливо. Но я бы посоветовал вам использовать оба способа, так как вы многому научитесь на каждом из них. Если вы сдадитесь, волшебное ключевое слово Google будет «смещенные числовые состояния».

---

* Забавный факт: статьи, которым нужен этот матричный элемент, обычно также цитируют другую статью Кэхилла и Глаубера (страница 1883, тот же журнал, тот же том), которая к ней не относится. Остерегайтесь слепого цитирования!