Оценка ожидаемых значений

Проблема некорректно поставлена ​​с нуля, потому что$|p_i\rangle$не является элементом гильбертова пространства и тем более не принадлежит области$\hat{p}$. Та же проблема возникает при рассмотрении$\hat{f}|p_i\rangle$.

Собственно говоря, строго говоря$\langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle$не существует. С математической точки зрения проблема здесь останавливается, поскольку ex falso quodlibet .

Однако кое-что можно сказать с подходящей интерпретацией$\langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle$. Наивно, но прямолинейно можно дать такую ​​интерпретацию, опуская несущественные знаки и константы,

$$\langle p_i|[\hat p,\hat f]|p_i\rangle= i\int_{\mathbb R} e^{-ip_ix} \left(\frac{d}{dx} f(x) e^{ip_ix}\right) dx - i\int_{\mathbb R} e^{-ip_ix} f(x)\frac{d}{dx} e^{ip_ix} dx\:. \quad [1]$$ Этот интеграл можно вычислить и получить результат (2). Результат (1) не может быть получен при такой прямой интерпретации формализма, поскольку он опирается на формальную самосопряженность $i\frac{d}{dx}$, то есть тождество: $$i \int_{\mathbb R} \psi(x) \frac{d}{dx} g(x) dx = i\int_{\mathbb R} \left( \frac{d}{dx}\psi(x)\right) g(x) dx \quad [2]$$ Это тождество на самом деле выполняется для некоторых классов функций $\psi,g$(в некоторых случаях также, если $\psi, g$не принадлежат $L^2(\mathbb R)$). Сравнивая с первым слагаемым в правой части [1], имеем, что должно быть, $$g(x) = f(x) e^{ip_ix} \quad \psi(x) = e^{-ip_ix}\:.$$ Однако эти функции были исправлены только для того, чтобы сделать их ложными [2]!

Это не ответ непосредственно на ваш случай, а некоторые соответствующие наблюдения. Тем не менее, это слишком долго, чтобы опубликовать это в комментарии.

Рассматриваем аналогичную ситуацию, (шапки опускаю)

$$\langle p | [x,p] | p \rangle \tag{1}$$

Есть два способа вычислить математическое ожидание (1).

Первый,

$$\langle p | xp -px | p \rangle = p ( \langle p|x|p \rangle - \langle p|x|p \rangle) =0 \tag{2}$$

Второй,

$$\langle p | i | p \rangle = i \delta(0) = i \infty \tag{3}$$

Есть нестыковка. Проблема в,

$$\langle p |x|p \rangle = \int \int dx dx' \langle p|x \rangle \langle x| x| x '\rangle \langle x'| p\rangle = \int x dx = \infty -\infty \tag{4}$$ , что плохо определено, если только мы не возьмем главное значение.

Мы можем сделать более консервативный расчет в соответствии с первым подходом,

$$\lim_{p'\rightarrow p} \langle p | [x,p] | p' \rangle = \lim_{p'\rightarrow p} (p' - p) \langle p | x | p' \rangle = i \lim_{p'\rightarrow p} (p' - p) \frac{ \partial}{\partial p} \delta(p-p') = i \lim_{p'\rightarrow p} \delta (p - p') = i \delta(0) \tag{5}$$

Теперь все последовательно.

Я думаю, что ситуация похожа на$f=ArcTan(e^x)$, хотя интеграл в$\lim p' \rightarrow p$подход.

(1) Выглядит неправильно просто потому, что вы не применили операторы к состоянию$|p\rangle$правильно. Операторы действуют справа налево, поэтому должно получиться:

$$\left(\hat{p}\hat{f}-\hat{f}\hat{p}\right)|p\rangle=\hat{p}\hat{f}|p\rangle-\hat{f}\hat{p}|p\rangle =\hat{p}\left(\hat{f}|p\rangle\right)-\hat{f}\left(\hat{p}|p\rangle\right) \tag{1}$$ потому что $\hat{f}$необходимо действовать $|p\rangle$прежде чем действовать $\hat{p}$в теме. Первый член слева от второй строки (и без учета констант) действительно $$\hat{p}\left(\hat{f}|p\rangle\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( f|p\rangle\right)=\frac{\partial f}{\partial x}|p\rangle+fp|p\rangle\neq pf|p\rangle\tag{2}$$ это не то, что вы предполагали.

(2) выглядит правильным, потому что он использует квантовый аналог скобки Пуассона для определения коммутатора:

$$[\hat{p},\,\hat{f}]=i\hbar\left(\frac{\partial\hat{p}}{\partial\hat{x}}\,\frac{\partial\hat{f}}{\partial\hat{p}}-\frac{\partial\hat{p}}{\partial\hat{p}}\frac{\partial\hat{f}}{\partial\hat{x}}\right)=-i\hbar\frac{\partial\hat{f}}{\partial x}\tag{3}$$ потому что $\partial\hat{f}/\partial\hat{p}=0$.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ

Правильное определение оператора импульса:

$$\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$ Таким образом, применяя недостающие константы к (2) и вычитая $fp|p\rangle$член из (1), получаем $$-i\hbar\frac{\partial f}{\partial x}$$ что то же самое, что уравнение (3). Таким образом, нет никакого парадокса, потому что вы неправильно применяли свои операторы.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ 2

Проблема OP заключается в путанице с заказами оператора. Когда операторы действуют на бюстгальтеры, мы должны взять (эрмитов) сопряженный оператор:

$$\langle p|\hat p\hat f|p\rangle=\left(\langle p|\hat f^\dagger\hat p^\dagger\right)|p\rangle\neq \left(\langle p|\hat p\right)\hat f$$ при использовании среднего члена будет получено уравнение, аналогичное моему уравнению (2) выше (т. е. кет заменяется бюстгальтером).

Я думаю, что нашел ответ, который, по крайней мере, для меня, является удовлетворительным.

Амплитуды перехода из состояния$|a\rangle$в то же состояние$|a\rangle$имеет смысл, если я имею дело со связанным состоянием, волновая функция которого интегрируема в квадрате. Все проблемы, на которые я указал, не возникнут со связанными (интегрируемыми в квадрат) состояниями. С другой стороны, если я имею дело со свободным состоянием, квантовое число которого непрерывно, мне придется вставить в качестве конечного состояния совершенно другое состояние. Я указывал на проблемы рассеяния, но в задачах рассеяния рассеянное состояние$|p_ f\rangle$в общем случае различны по отношению к начальному состоянию, хотя иногда их энергия одинакова.

Также может возникнуть соблазн рассмотреть$\langle p_i|V(\hat x)|p_i \rangle$как ожидаемое значение оператора$V(\hat x)$на государство$|p_i \rangle$. Однако это снова выглядит неправильно, если состояние не является интегрируемым в квадрате, например$|p_i \rangle$. На самом деле, предположим, что мы хотим получить математическое ожидание оператора$\hat p$на государство$|p_i \rangle$. Мы, естественно, хотим, чтобы результат был$p_i$. Этого не произойдет, если мы запишем ожидаемое значение как

$$\langle p_i|\hat p|p_i \rangle=p_i\delta(0)=+\infty$$ так как состояния не интегрируемы с квадратом. Лучшее, что мы можем получить, это вставить конечное другое состояние и получить распределение $$\mathcal{D}=\langle p|\hat p|p_i \rangle=p\delta(p-p_i)$$ так что при интеграции мы получим желаемый результат: $$<p>=\int \mathcal{D} \,d\!p=p_i~,$$ где $<p>$означает здесь «среднее значение для p».

На мой взгляд, при работе с матрицами плотности и трассами в квантовом пространстве (x,p) нужно также делать это с осторожностью, учитывая вышеизложенное.

В общем, сейчас я не вижу больше необходимости рассматривать элементы вида$\langle p_i|V(\hat x)|p_i \rangle$, каким бы ни был потенциал, если$|p_i\rangle$не интегрируется с квадратом. В теории возмущений, которая мне больше всего нужна, первый член ряда Дайсона читается как$\langle p_f|p_i \rangle$и приравнивается к нулю, так как мы предполагаем$p_f \neq p_i$. Если мы этого не допускаем, то все взрывается до бесконечности в нулевом порядке, а этого мы не хотим.

ОТРЕДАКТИРОВАНО :

Чтобы подчеркнуть, что я имею в виду, позвольте мне еще раз рассмотреть мои уравнения с интегрируемыми в квадрат состояниями:

$$\begin{equation} \langle p_i|x\rangle = \frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\;,\; \langle x|p_i\rangle = \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\;, \end{equation}$$ где $V$это интеграция «Объем» в 1D (кто-то может назвать это $V^{1/3}$). Уравнение (1) читается как есть, в то время как уравнение. (2) теперь гласит: $$\begin{equation} \begin{array}{lcl} \langle p_i|i[\hat p, \hat f]|p_i\rangle&=& \hbar\int dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}} \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}} =\frac{\hbar}{V}\,\int_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}}\\ &=&\frac{\hbar}{V}\,\frac{\pi}{2}=0 ~,\qquad (1.1) \end{array} \end{equation}$$ и несоответствие исчезло. Состояния в (1.1), вероятно, являются хорошим приближением гауссовского состояния с большой пространственной шириной, которое мы получили бы в обычных экспериментах. Поэтому я ожидаю, что $\approx 0$результат, который мы нашли бы. На самом деле, строгий расчет с гауссовскими состояниями (которые интегрируются в квадрате) был бы интересен. Мы могли бы отправить пространственную ширину в большие значения, чтобы увидеть, как ведет себя значение ожидания. Я посмотрю, смогу ли я это сделать в ближайшие дни.