Связь уравнения Шрёдингера, унитарности и сохранения норм состояний во временной эволюции

Question

Связь уравнения Шрёдингера, унитарности и сохранения норм состояний во временной эволюции

пользователь1936752

Это может быть действительно простым, но у меня возникли проблемы с подключением следующих проблем:

1) 2-норма для векторов состояния сохраняется во время временной эволюции

2) Гамильтониан является эрмитовым оператором. С помощью уравнения Шредингера мы можем понять, как эволюция времени влияет на состояние.

Как следствие 1) или 2) мы можем показать, что эволюция во времени унитарна. Но я не понимаю, почему 1) или 2) должны быть истинными с самого начала. Более того, если только одно из них верно, то я натыкаюсь на какое-то несоответствие?

Начнем с 1) - Когда мы рассматриваем эволюцию состояний во времени, почему требуется сохранение внутренних продуктов? Очевидно, я не хочу предполагать, что эволюция унитарна, поскольку это круговое рассуждение. Какое это имеет значение, если я не смогу сохранить 2-норму некоторой произвольной пары состояний, поскольку они оба претерпевают эволюцию во времени?

Что касается 2), этот ответ ( https://physics.stackexchange.com/a/264439/52363 ) был весьма поучительным. Если операторы не обязаны быть эрмитовыми, то и гамильтониан тоже. В результате я могу получить некоторую неунитарную эволюцию, которая, конечно, не сохраняет 2-норму.

Я думаю, что немного запутался в том, как эти концепции объединяются, поэтому любая помощь очень ценится! Какие предположения приходят первыми и почему мы в конечном итоге приходим к квантовой теории, которая у нас есть сегодня?

Фотон

1) должно выполняться, поскольку в противном случае вероятность измерить «что угодно» будет отличаться от 1.

пользователь1936752

@Photon, не могли бы вы уточнить это утверждение? Мы говорим о

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle \psi\vert\psi \rangle$ или между любыми произвольными состояниями, т.е.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle \phi\vert\psi \rangle$

Фотон

Мы говорим о норме (квадрате), а не о скалярном произведении:

⟨ ψ | ψ ⟩ "=" \int ψ^{⋆} (Икс) ψ (Икс) д^{3} Икс "=" \int | ψ (Икс) |^{2} д^{3} Икс "=" \int р (Икс) д^{3} Икс

$\langle \psi|\psi\rangle = \int \psi^\star(x)\psi(x)d^3x = \int |\psi(x)|^2d^3x=\int \rho(x)d^3x$ где

ρ

$\rho$ – плотность вероятности. Интеграл по всему пространству

ρ

$\rho$ должно равняться 1.

Любопытный Разум

Какие предположения будут «первыми», зависит от того, как вы хотите заниматься квантовой механикой. Когда у вас есть теория с кучей утверждений, которые могут быть выведены друг из друга при наличии одного из них, вопрос о том, какое из них стоит «первым», является довольно бессмысленным вопросом — это вопрос вкуса, какое из этих утверждений вы можете мотивировать лучше всего. принять как аксиому, но в теории нет ничего, что делало бы это лучше или хуже любого другого выбора.

пользователь1936752

@ACuriousMind, достаточно честно. В данном случае означает ли это, что и 1), и 2) являются независимыми предположениями? И если я предположу 1), а не 2), я все равно получу унитарную эволюцию или что-то другое?

Ответы (1)

Связь уравнения Шрёдингера, унитарности и сохранения норм состояний во временной эволюции

1) должно выполняться, поскольку в противном случае вероятность измерить «что угодно» будет отличаться от 1.
@Photon, не могли бы вы уточнить это утверждение? Мы говорим о $\langle \psi\vert\psi \rangle$ или между любыми произвольными состояниями, т.е. $\langle \phi\vert\psi \rangle$
Мы говорим о норме (квадрате), а не о скалярном произведении: $⟨ ψ | ψ ⟩ "=" \int ψ^{⋆} (Икс) ψ (Икс) д^{3} Икс "=" \int | ψ (Икс) |^{2} д^{3} Икс "=" \int р (Икс) д^{3} Икс$ $\langle \psi|\psi\rangle = \int \psi^\star(x)\psi(x)d^3x = \int |\psi(x)|^2d^3x=\int \rho(x)d^3x$ где $\rho$ – плотность вероятности. Интеграл по всему пространству $\rho$ должно равняться 1.
Какие предположения будут «первыми», зависит от того, как вы хотите заниматься квантовой механикой. Когда у вас есть теория с кучей утверждений, которые могут быть выведены друг из друга при наличии одного из них, вопрос о том, какое из них стоит «первым», является довольно бессмысленным вопросом — это вопрос вкуса, какое из этих утверждений вы можете мотивировать лучше всего. принять как аксиому, но в теории нет ничего, что делало бы это лучше или хуже любого другого выбора.
@ACuriousMind, достаточно честно. В данном случае означает ли это, что и 1), и 2) являются независимыми предположениями? И если я предположу 1), а не 2), я все равно получу унитарную эволюцию или что-то другое?

Джон Донн · Answer 1

На большинство вопросов уже есть ответы в комментариях. Я подытожу и расширю некоторые моменты.

ОП спрашивает, почему у нас есть требование, чтобы 2-норма векторов сохранялась при эволюции во времени. Ответ, уже приведенный в комментариях, таков. Позволять $U(t)$ оператор эволюции времени, и $\lvert \psi(t) \rangle$ состояние системы в момент $t$ . Затем $\lvert \psi(t) \rangle = U(t)\lvert \psi(0) \rangle$ где $\lvert \psi(0) \rangle$ является начальным состоянием. Мы настаиваем на нормализации волновой функции, что в обычной интерпретации означает, что вероятности «в сумме равны 1». Так что если $\langle \psi(0)\lvert \psi(0) \rangle=1$ . Поэтому мы требуем, чтобы $U(t)$ является унитарным, чтобы гарантировать, что волновая функция всегда нормализована.

Если бы эволюция времени не была унитарной, то вы могли бы иметь $\langle \psi(t)\lvert \psi(t) \rangle \neq 1$ . Если оно больше единицы, то это ерунда (пока вы верите, что волновую функцию можно интерпретировать как амплитуду вероятности). Если оно меньше единицы, значит, ваша система «пропускает» информацию. Это тоже нонсенс в обычном понимании. Некоторые люди используют это для моделирования диссипативных эффектов с помощью воображаемого потенциала, который переводится в неэрмитовскую гамильтоновскую и, следовательно, (если верить Шрёдингеру) неунитарную эволюцию.

Как правильно указано в вопросе, который вы связали, нам нужны операторы, соответствующие наблюдаемым, чтобы они были нормальными. Это связано с тем, что по спектральной теореме это означает, что они могут быть диагонализируемы ортогональным набором, что нам необходимо, если мы хотим, чтобы измерения имели смысл. Обратите внимание, однако, что мы можем построить эрмитов гамильтониан из ненормальных операторов. Типичным примером является гармонический осциллятор, для которого $H=a^\dagger a$ , но $a$ это не нормально. Если мы требуем, чтобы собственные значения нормального оператора были действительными, то оператор является эрмитовым. Почему мы это делаем? Это то, к чему мы привыкли. Собственные значения положения, импульса и энергии имеют простую интерпретацию, если они реальны. А если бы они были сложными? Это происходит, когда вы выполняете рассеяние, для которого волновая функция не нормализуется, и вы можете получить сложные значения импульса и энергии, которые в этом контексте можно интерпретировать как время затухания (см. эти примечания , стр. 312 и далее). Однако неясно, как их интерпретировать в целом.

Подытожим логическую цепочку:

волновые функции - это амплитуды вероятности ⟹ эволюция времени должна быть унитарной

$\textrm{wavefunctions are probabilty amplitudes} \implies \textrm{time evolution should be unitary}$

наблюдаемые дают реальные измерения ⟹ соответствующие операторы должны быть эрмитовыми

$\textrm{observables give real measurements} \implies \textrm{corresponding operators should be hermitian}$

выполняется уравнение Шредингера \Leftrightarrow эволюция во времени определяется выражением е^{- я ЧАС т}

$\textrm{Schrodinger equation holds} \Leftrightarrow \textrm{time evolution is given by } e^{-iHt}$

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос в комментариях, если вы предполагаете 1), но не 2), вы все равно получаете эволюцию унитарного времени, однако вам не обязательно знать ее математическое выражение.

Обратите внимание, однако, что в QM есть случаи, когда мы хотим интерпретировать вещи по-разному. Наиболее распространенным примером являются состояния рассеяния, волновые функции которых не интерпретируются как амплитуды вероятности.

Связь уравнения Шрёдингера, унитарности и сохранения норм состояний во временной эволюции

пользователь1936752

Фотон

пользователь1936752

Фотон

Любопытный Разум

пользователь1936752

Ответы (1)

Джон Донн

Как я могу доказать, что волновая функция остается нормализованной с течением времени?

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Доказательство нормализации волновой функции

Возможная ошибка в предположении - Квантовая механика Гриффитса

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Эволюция времени в абстрактном пространстве состояний квантовой механики

Полнота собственных функций энергии