Доказательство существования преобразования Лоренца от светоподобных к светоподобным векторам

(Я заранее допустил тривиальную ошибку. Ваше утверждение верно, вот доказательство.)

я предполагаю$c=1$на протяжении всего доказательства.

Учитывать$t\neq 0$и$u\neq 0$как светоподобные, так и ориентированные на будущее. Зафиксируйте систему отсчета Минковского с ориентированной на будущее временной координатой.

В координатах$t= (t^0, \vec{t})$и$u= (u^0, \vec{u})$с$t^0= ||\vec{t}||$и$u^0= ||\vec{u}||$потому что оба вектора ориентированы на будущее и подобны свету.

Использование преобразования Лоренца$\Lambda_R$полностью определяется пространственным вращением $R$, мы можем преобразовать$t= (||\vec{t}||, \vec{t})$к$\Lambda_R t = (||\vec{t}||, R\vec{t}) = (||R\vec{t}||, R\vec{t})$, где$R\vec{t}$параллельно _ _$\vec{u}$.

В заключение достаточно доказать существование буста$\Lambda_b$такой, что$\Lambda_b \Lambda_R t =u$.

Для удобства повернем пространственные оси нашей системы отсчета, чтобы иметь$\vec{u}$и$\vec{\Lambda_Rt}$направленный вдоль$x^3$. В этих координатах

$$\Lambda_R t = (a,0,0,a)\quad u = (b,0,0,b)\:,$$

Действие наддува$\Lambda_b$вдоль$x^3$есть, для некоторых$\chi \in \mathbb R$,

$$\Lambda_b (a,0,0,a) = (\cosh \chi a + \sinh \chi a, 0,0, \sinh \chi a + \cosh \chi a)$$

Задача сводится к нахождению$\chi \in \mathbb R$такой, что

$$\cosh \chi a + \sinh \chi a =b$$

где$a,b>0$дано. А именно

$$e^\chi a =b$$

решение всегда существует и, очевидно,

$\chi = \ln (b/a)$.

Подводя итог, если мы подадим заявку сначала$\Lambda_R$а потом$\Lambda_p$к$t$мы получаем$u$как хотел. Сочинение$\Lambda_p \Lambda_R$— искомое преобразование Лоренца.

В случае$t$и$u$имеют противоположные временные направления, приведенные выше рассуждения должны быть завершены добавлением дополнительной операции обращения времени к$t$(что тоже является преобразованием Лоренца) перед использованием$\Lambda_R$и$\Lambda_p$.

КОММЕНТАРИЙ . Этот результат интересен тем, что он доказывает транзитивность действия группы Лоренца на границе светового конуса. Вместо этого этот факт является ложным , если речь идет о внутренней части светового конуса, потому что преобразования Лоренца сохраняют лоренцеву длину векторов, и, таким образом, векторы с разной длиной не могут быть отображены друг на друга никаким преобразованием Лоренца. (Поверхность светового конуса является предельным случаем внутренней поверхности векторов фиксированной длины [массовая оболочка в импульсном представлении] в соответствии с найденным результатом.)

Предложение 1. Группа Лоренца $O(3,1)$действует транзитивно на ненулевых нуль-векторах.

С момента обращения времени преобразования$T:t\mapsto -t$является преобразованием Лоренца, достаточно показать следующее.

Предложение 2. Ограниченная группа Лоренца$SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$действует транзитивно на направленные в будущее ненулевые нуль-векторы.

Набросок доказательства предложения 2, вдохновленный Твистором. Сначала вспомним следующие факты:

1. 4-вектора Минковского$\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3)$можно отождествить с$2\times 2$эрмитовы матрицы$\sigma$см., например, ответ по Phys.SE от twistor59 здесь или мой ответ по Phys.SE здесь .

2. Определитель$\det(\sigma)=||\tilde{x}||^2$является квадратичной формой Минковского.

3. След${\rm tr}(\sigma)=2x^0$вдвое больше временной координаты.

4. Элемент группы$g\in SL(2,\mathbb{C})$в двойном накрытии ограниченной группы Лоренца действует на эрмитову$2\times 2$матрицы$\sigma$с помощью$\rho(g)\sigma= g\sigma g^{\dagger}$.

Теперь вернемся к настройке OP. Светоподобный означает, что$\sigma$имеет нулевой определитель, т. е. имеет не более чем 1 ранг. Другими словами, существует два$2\times 1$столбцы векторов$\lambda,\mu\in \mathbb{C}^2$так что$2\times 2$матрица

$$\sigma~=~\lambda\mu^{\dagger}.$$ Отшельничество$\sigma$показывает, что$\lambda || \mu$. Предположим, что$\sigma$не равен нулю. Тогда он имеет точно ранг 1. Ориентированность на будущее означает, что оставшееся ненулевое собственное значение$\sigma$положительный, см. пункт 3. ($\lambda$— соответствующий собственный вектор.) Мы можем предположить, что$\lambda=\mu$, возможно, после масштабирования.

Таким образом, существует ненулевой левый спинор Вейля

$$\lambda~\in~ (\mathbb{C}^2)^{\times}~:=~\mathbb{C}^2\backslash\{(0,0)\},$$ таким образом$2\times 2$матрица$\sigma$можно записать как $$\sigma~=~ \lambda \lambda^{\dagger}.$$

Eсть$U(1)$фазовая неоднозначность в выборе$\lambda$. Двойная крышка$SL(2,\mathbb{C})$действует транзитивно $\rho(g)\lambda=g\lambda$на$(\mathbb{C}^2)^{\times}$через обычный$2\times 2$матрицы$g$: Для всех пар$\lambda, \mu\in (\mathbb{C}^2)^{\times}$мы можем найти$2\times 2$матрица$g\in SL(2,\mathbb{C})$с определителем 1 таким, что$\mu= g\lambda$. В целом это показывает Предложение 2.$\Box$