Доказательство теоремы Гаусса для электростатики из книги Гриффитса.

Предположим, заряд$q$находится в истоке. Тогда поток$\vec{E}$через любую замкнутую гауссову поверхность$\Sigma$можно представить поверхностным интегралом:

$$\begin{equation} \Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\Sigma}\frac{\vec{r}}{r^3}.d\vec{\sigma} \end{equation}$$

Чтобы доказать, что этот интеграл не зависит от поверхности$\Sigma$, вам понадобится следующая теорема, которую вы можете легко проверить простым вычислением или найти в Интернете.

Позволять$S$любая поверхность и предположим$S'$является проекцией$S$на сферу$x^2+y^2+z^2=R^2$, затем:

$$\iint_S\frac{\vec{r}}{r^3}.d\vec{\sigma}=\frac{{area}(S')}{R^2}$$ Если применить эту теорему к $R=1$к уравнению один, то площадь $S'$это вся сфера с $R=1$и равен $4\pi$. Для этого:

$$\Phi=\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\right)4\pi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

Примечание:$\frac{{area}(S')}{R^2}$это телесный угол площади$S$