Доказательство того, что наша планета одномерна

Я думаю, что вы имеете в виду кривые, заполняющие пространство, и то, как они могут отображать линейный сегмент более чем в одном измерении. Например, кривую заполнения пространства Гильберта можно использовать для отображения интервала$[0,1]$к$[0,1]\times[0,1]$.

Боюсь, хотя непрерывная биекция возможна в одну сторону, гомеоморфизм между двумя разными евклидовыми пространствами разных измерений невозможен. Гомеоморфизм — это отображение, которое является непрерывным, биективным и имеет обратное непрерывное. Вы не можете построить гомеоморфизм. Таким образом, Земля не может быть одномерной!

См.: Топологические свойства реального координатного пространства.

Ответ Варуна в основном говорит сам за себя, но, возможно, полезно также объяснить, почему нам нужен гомеоморфизм, а не просто биекция.

Вся идея моделирования «реального физического пространства» евклидовой$\mathbb{R}^3$Таким образом, мы можем делать предсказания о физических процессах, например, о том, как распространяется электромагнитная волна. Обычно для этой цели мы используем дифференциальные уравнения или интегралы по траекториям. Эти модели локальны , т. е. какой бы масштабный процесс мы ни описывали, он в конечном счете может быть расщеплен на фундаментальные процессы, происходящие в сколь угодно малых сегментах пространства. Это относится к евклидовой норме: для каждой точки и каждой «желаемой точности» существует некоторая открытая окрестность, крошечное векторное пространство, в котором у нас есть несколько простых уравнений, описывающих физику.
Именно эта норма индуцирует топологию$\mathbb{R}^3$- топологическое пространство - это просто набор вместе с понятием того, какие подмножества являются локальными окрестностями.

Если мы сопоставляем физическое пространство с каким-то другим пространством с помощью гомеоморфизма, то открытые окрестности «сохраняются» (снова отображаются в открытые окрестности). Кроме того, у нас нет новых районов. Таким образом, локальная физическая модель в новом гомеоморфном пространстве эквивалентна локальной физической модели в исходном пространстве.

Все выглядит совсем по-другому, если вы отображаете пространство другой размерности, используя что-то вроде кривой заполнения пространства Гильберта. Эти отображения сильно негомеоморфны, т. е. открытые окрестности в$\mathbb{R}^3$обычно отображается на набор бесконечно многих несвязанных фрагментов. Любая модель, которая была проста на$\mathbb{R}^3$переводится как ужасный беспорядок на$\mathbb{R}$, и даже если вы найдете подходящее алгебраическое описание, это будет сильно зависеть от того, какую именно кривую заполнения пространства вы использовали. Любая такая модель будет нелокальной, т.е. выглядеть совершенно иначе, чем мы привыкли описывать физику. Чтобы выполнить какие-либо полезные расчеты, вам, вероятно, придется вернуться к$\mathbb{R}^3$сначала используйте простую модель там и преобразуйте в$\mathbb{R}$опять таки. Это просто бессмысленно.

Это невозможно. Предположим, реальная линия,$\mathbb{R}$, это ваше 1D пространство и что$\alpha:\mathbb{R}\to \mathrm{Earth}$является гомеоморфизмом (физика — это больше, чем просто топология, но, по крайней мере, топология обеих сторон должна совпадать). Затем удалите точку в каждом пробеле, скажем$\mathbb{R}_\times$а также$\mathrm{Earth}_\times$. ограничение,$\alpha_\times$, индуцирует изо между

что является противоречием. Значит такой карты нет.

Ответы до сих пор дают хороший ответ на вопрос, но просто добавляют общий момент:

Когда система описывается аксиоматически, задается набор возможных состояний плюс набор действительных правил для преобразования этих состояний в другие. Следовательно, эквивалентность набора допустимых состояний для двух систем не означает, что системы эквивалентны, поскольку ничего не говорит об эквивалентности вторых частей описания.

Поскольку ваш вопрос возник на основе дискретной математики, а « наша планета » вполне может считаться набором дискретных элементов (например, атомов)…
… может быть полезно рассмотреть понятие «измерения D», которое позволяет различать дискретные пространства разных значений D; например:

если набор$\mathcal{S}$подходящих дискретных элементов есть метрическое пространство$(\mathcal{S}, d)$, с заданными значениями расстояния ("$d$") между парами элементов (или, по крайней мере, заданными отношениями расстояний между любыми тремя различными элементами), то либо

1. Все элементы$\mathcal{S}$прямо друг к другу; или, по крайней мере: чем ближе любые три элемента друг к другу, тем они прямее друг к другу (в сравнении).
   (Явно, например:
   для любого элемента$A \in \mathcal{S}$есть два элемента$B, C \in \mathcal{S}$такой, что радиус описанной окружности треугольника$ABC$больше длины окружности треугольника$ABC$,$\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{\sqrt{2 AB^2 \cdot AC^2 + 2 AB^2 \cdot BC^2 + 2 AC^2 \cdot BC^2 - AB^4 - AC^4 - BC^4}} \gt AB + AC + BC$;
   и для любых других двух элементов$X, Y \in \mathcal{S}$для которого длина окружности треугольника$AXY$меньше длины окружности треугольника$ABC$радиус описанной окружности треугольника$AXY$по сравнению с ним даже больше,
   $\frac{AX \cdot AY \cdot XY}{\sqrt{2 AX^2 \cdot AY^2 + 2 AX^2 \cdot XY^2 + 2 AY^2 \cdot XY^2 - AX^4 - AY^4 - XY^4}} / (AX + AY + XY) \gt$
   $\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{\sqrt{2 AB^2 \cdot AC^2 + 2 AB^2 \cdot BC^2 + 2 AC^2 \cdot BC^2 - AB^4 - AC^4 - BC^4}} / (AB + AC + BC)$
   .)
   Тогда метрическое пространство$(\mathcal{S}, d)$является 1-мерным. Или еще:

2. Все элементы набора$\mathcal{S}$плоские друг к другу; или, по крайней мере: чем ближе любые четыре элемента друг к другу, тем они более плоские друг к другу (в сравнении).
   (Это можно сделать явным путем сравнения радиусов описанных сфер любых четырех элементов множества$\mathcal{S}$.) Тогда метрическое пространство$(\mathcal{S}, d)$является 2-мерным. Или еще:

3. Все элементы набора$\mathcal{S}$лежат плоско друг к другу; или, по крайней мере: чем ближе любые пять элементов друг к другу, тем они более плоские друг к другу (в сравнении).
   (Это можно сделать явным путем сравнения радиусов описанных 3-сфер любых пяти элементов множества$\mathcal{S}$.) Тогда метрическое пространство$(\mathcal{S}, d)$является трехмерным. И так далее.

По этим (или близкородственным) критериям элементы, из которых состоит « наша планета », предположительно представляют собой трехмерное множество.

[...] координат с один на один и сюръективной функцией от$(x,y,z)$к$(a)$

Заметим, что в предложенном выше определении «размерности D дискретных пространств» ни о каких координатах не упоминалось. Неважно, какие или сколько действительных чисел присвоены элементам любого конкретного множества.$\mathcal{S}$; все, что требуется, — это расстояния (или, по крайней мере, отношения расстояний) между элементами.

Однако, как только «размерность D» набора установлена, можно различать различные координатные присвоения.

Например: если установлено$\mathcal{S}$является 1-мерным (и с двумя отдельными «концами»), и если элементам множества приписаны действительные числа$\mathcal{S}$(одно действительное число для каждого отдельного элемента), то можно определить, является ли присвоение монотонным относительно порядка элементов в$\mathcal{S}$, или нет.

Этот способ проведения различий можно обобщить на наборы большей «размерности D», если каждому элементу будут присвоены реальные D-кортежи (т. е. наборы из D действительных чисел).