Доказательство того, что пересечение двух подпространств равно {0}

Данный$V$K-векторное пространство и$E_1, E_2$подпространства в V. Если$B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$и$B_2=\{w_1,\dots,w_s\}$две основы$E_1$и$E_2$а векторы базиса линейно независимы, т. е. множество${v_1,...,v_m,w_1,...,w_s}$линейно независима, то$E_1 \cap E_2=\{0\}$. Предположим, что$E_1 \cap E_2 \neq \{0\}$. Тогда есть ненулевой вектор$u \in E_1 \cap E_2$. Затем$u \in E_1$и$u \in E_2$. Тогда есть выражение u через базис$B_1, B_2$. Затем$u=a_1v_1+\dots+a_mv_m$и$u=b_1w_1+\dots+b_sw_s$, с$a_1,\dots, a_m,b_1, \dots,b_s \in K$. Затем$a_1v_1+\dots+a_mv_m=b_1w_1+\dots+b_sw_s$. Затем$a_1v_1+\dots+a_mv_m-(b_1w_1+\dots+b_sw_s)=0$. Векторы линейно независимы, поэтому$a_1=\dots=a_m=b_1=\dots=b_s=0$. Следовательно$v=0$, нарастающее противоречие.

Это доказательство верно?