Задача линейного преобразования - проверка решения; доказательство общих результатов по линейной алгебре

Позволять$U,V,W$быть конечномерными векторными пространствами над$\mathbb{R}$. Позволять$T:U\rightarrow V, S:V\rightarrow W$быть линейными преобразованиями.

(i) Докажите, что$ker(T)\subseteq ker(ST)$и сделать вывод, что$rank(T)\ge rank (ST)$

(ii) Если$S$1-1 доказать, что$ker(ST)\subseteq ker(T)$и что$rank(ST)=rank(T)$

(iii) Предположим$\{u_1,u_2,u_3\}$является основой для$U$,$\{v_1,v_2\}$является основой для$V$и что$T$определяется$T(u_1)=v_1+v_2, T(u_2)=2v_1+v_2, T(u_3)=v_1-v_2$. Докажи это$T$карты$U$на всю$V$но затем$T$не 1-1.

Мое решение:

(я)$Ker(ST)=\{u|S(T(u))=0\}$. Если$S$1-1 тогда$Ker (ST)=Ker(T)$. Но если$S$не 1-1, то для некоторых$v$у нас есть$S(v)=0$, с$v\ne 0$. Мы можем иметь$v=T(u)$и так$ST(u)=0$с$T(u)\ne 0$. Как таковой$Ker(T)\subseteq Ker(ST)$. Теорема ранга недействительности говорит, что$rank(T)=n-null(T)\ge n-null(ST)$по предыдущей строке. Как таковой$rank(ST)\ge rank(T)$как заявлено.

(ii) Если$S$1-1 тогда$S(a)=S(b)\Rightarrow a=b$.$Ker(ST)=\{u|ST(u)=0\}$.Но с тех пор$S$1-1 и$S(0)=0$у нас есть$T(u)=0$. Как таковой$Ker(ST)=\{0\}\subseteq Ker(T)$, как$T$не может быть 1-1. так$rank(T)\le rank(ST)$. Но мы доказали ранее противоположный результат, и их объединение дает$rank(ST)=rank(T)$.

(iii) Я не уверен в этом решении, поскольку оно не использует$T(v_2)$в любом месте.$T(u_1+u_3)=2v_1$а также$T(u_1-u_3)=2v_2$. Итак, у нас есть скаляры$\alpha, \beta$такой, что$\alpha T(u_1+u_3)+\beta T(u_1-u_3)=\alpha v_1+\beta v_2$что является условием охвата$V$. Я не знаю, как показать, что это не 1-1.

Правильно ли мое решение?