Матричное представление линейной карты - возвращает неквадратную матрицу?

Question

Матричное представление линейной карты - возвращает неквадратную матрицу?

Математика
линейная алгебра
абстрактная-алгебра
проверка решения

Турция131

Позволять $V$ быть реальным векторным пространством $V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x+y+z=0\}$ . Рассмотрим основу для $V$ данный $B=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ .

Рассмотрим линейную карту $\psi:V\rightarrow V$ определяется $\psi(x,y,z)=(z,y,x)$ .

Найдите матричное представление $M_B(\psi)$ из $\psi$ .

Я думал, что матричное представление будет матрицей со строками, как влияние линейной карты на столбцы основы? Тогда у нас было бы $M_B(\psi)=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}$ . Но следующая часть вопроса требует собственных значений, которые не могут существовать как $M$ не квадратная матрица. Кто-нибудь может помочь?

Циклотомическое поле

Обратите внимание, что вы сопоставляете два вектора с двумя другими векторами в одном и том же пространстве. Это означает, что матрица должна быть

2 \times 2

$2 \times 2$ . В общем, если

V

$V$ имеет измерение

n

$n$ то любая линейная карта

V \to V

$V \rightarrow V$ будет иметь

n \times n

$n \times n$ матричное представление независимо от того, какой базис вы используете.

Ответы (1)

Матричное представление линейной карты - возвращает неквадратную матрицу?

Обратите внимание, что вы сопоставляете два вектора с двумя другими векторами в одном и том же пространстве. Это означает, что матрица должна быть $2 \times 2$ . В общем, если $V$ имеет измерение $n$ то любая линейная карта $V \rightarrow V$ будет иметь $n \times n$ матричное представление независимо от того, какой базис вы используете.

Бен Гроссманн · Answer 1

Какая мысль о матричных представлениях неверна. Вот как вы могли бы найти записи $2 \times 2$ матрица $\psi$ относительно основания $B$ . Позволять $v_1,v_2$ обозначают элементы $B$ . Мы находим, что

ψ (в_{1}) "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) "=" 0 \cdot в_{1} + 1 \cdot в_{2} .

$\psi(v_1) = \pmatrix{0\\1\\-1} = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2.$ Соответственно, первый столбец

M_{B} (ψ)

$M_B(\psi)$ дан кем-то

(0, 1)

$(0,1)$ . То есть у нас есть

М_{Б} (ψ) "=" (\begin{matrix} 0 & ? \\ 1 & ? \end{matrix}) .

$M_{B}(\psi) = \pmatrix{0&?\\1&?}.$ Второй столбец

M_{B} (ψ)

$M_B(\psi)$ можно найти выражение

ψ (v_{2})

$\psi(v_2)$ как линейная комбинация

v_{1}

$v_1$ и

v_{2}

$v_2$ . Мы находим, что

ψ (v_{2}) = (- 1) \cdot v_{1} + (- 1) \cdot v_{2}

$\psi(v_2) = (-1)\cdot v_1 + (-1)\cdot v_2$ , так что второй столбец

M_{B} (ψ)

$M_B(\psi)$ является

(- 1, - 1)

$(-1,-1)$ . Собрав все это вместе, мы находим, что матрица имеет вид

М_{Б} (ψ) "=" (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) .

$M_B(\psi) = \pmatrix{0&-1\\1&-1}.$

Что происходит с третьей записью матричного представления? Как и в $-1$ не имеют никакого эффекта?
@ turkey131 Я не понимаю, почему вы считаете, что должна быть «третья запись», и я не понимаю, что вы подразумеваете под «эффектом» $-1$ .
@turkey131 Возможно, вы считаете, что мы создали этот первый столбец путем вычисления $\psi(v_1)$ и принимая только первые две записи. Это не то , что здесь происходит. Я предлагаю вам потратить минуту, чтобы попытаться понять пояснительный текст.
@ turkey131 Обратите внимание, что $ψ (в_{2}) "=" (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .$ $\psi(v_2) = \pmatrix{-1\\0\\1}.$ Соответствующий столбец $M_B(\psi)$ (т.е. координаты этого выхода относительно базиса $B$ ) является $(-1,-1)$ . Обратите внимание, что мы не просто использовали первые две записи результата.

Матричное представление линейной карты - возвращает неквадратную матрицу?

Турция131

Циклотомическое поле

Ответы (1)

Бен Гроссманн

Турция131

Бен Гроссманн

Бен Гроссманн

Бен Гроссманн

Задача линейного преобразования - проверка решения; доказательство общих результатов по линейной алгебре

Менее наводящие на размышления термины для «сложения векторов» и «скалярного умножения».

Наличие нейтрального элемента

Векторные пространства и группы

Гомоморфный образ знакопеременной группы

Преобразование линейно независимого множества линейно независимо

Существование ортогональной базы для конечного расширения Галуа над характеристикой 2

Текст линейной алгебры после абстрактной алгебры

Сумма n квадратов (x21+x22+⋯+x2n)2(y21+y22+⋯+y2n)=z21+z22+⋯+z2n(x12+x22+⋯+xn2)2(y12+y22+⋯+yn2)=z12+z22+⋯ +zn2(x_1^2+x_2^2 + \dots + x_n^2)^2 (y_1^2+y_2^2 + \dots + y_n^2) = z_1^2+z_2^2 + \dots + z_n^ 2

Элементарный способ показать, что определитель отличен от нуля