Изображение градуированной линейной карты градуировано

Позволять$A$быть градуированным кольцом,$M,N$оцененный$A$-модули и$u:M\rightarrow N$градуированная линейная карта степени$\delta$. Я хочу показать это$\text{Im}(u)$является градуированным подмодулем$N$. Достаточно доказать, что$\text{Im}(u)$порождается однородными элементами.

Позволять$y\in\text{Im}(u)$. Тогда существует$x\in M$такой, что$y=u(x)$. Мы можем написать$y$и$x$как единственная сумма их однородных составляющих:$x=\sum_{\lambda\in\Delta}m_\lambda$и$y=\sum_{\lambda\in\Delta}n_\lambda$. Это означает, что$y=u(x)=\sum_{\lambda\in\Delta}u(m_\lambda)$, где$u(m_\lambda)\in N_{\lambda+\delta}$, для всех$\lambda\in\Delta$.

Я не уверен, что делать в этот момент; как я могу использовать приведенные выше данные, чтобы найти производящую систему$N$элементы которого однородны?

Обозначение: пусть$(A_\lambda)_\lambda$,$(M_\lambda)_\lambda$и$(N_\lambda)_\lambda$быть оценками$A,M$и$N$, соответственно.