Доказательство того, что статистическая механика является моделью термодинамики

Позвольте мне сначала заявить, что невозможно получить результат в полной общности, т. е. что он справедлив для любой статистической модели, просто потому, что это неверно. Нужно сделать определенные физические предположения о системе, чтобы результат был справедливым. Но для того, чтобы на самом деле доказать что-либо (в математическом смысле), также необходимо потребовать дополнительных технических предположений (математика здесь просто сложна, и никак иначе).

Самый распространенный способ – работа на решетке.$S$(такой как$S = \mathbb Z^d$), т.е. с дискретизированным пространством (это делает вашу жизнь намного проще, хотя и довольно сложной), а также предположим, что нам дано пространство полей$(E, \mathcal E, \lambda_0)^S$где$(E, \mathcal E, \lambda_0)$некоторое хорошее пространство меры. Наконец, пусть система описывается набором потенциалов$(\Phi_A)_{A \subset S}$описание взаимодействий в некотором подмножестве$A$решетки такой, что энергия$H_x(\cdot) = \sum_{A \ni x} \Phi_A(\cdot)$в каждом узле решетки конечна$\int H_x(\omega) \lambda(d\omega) < \infty$где$\lambda$является мерой продукта на$E^S$(например, спиновые модели с конечным диапазоном, такие как модель Изинга), мы можем доказать, что любая эргодическая мера Гиббса, инвариантная к сдвигу (здесь эргодическая относится к переносу сдвига на решетке, а не к временной эволюции, о которой вы говорите) тогда удовлетворяет вариационному принципу (максимизации функционала энтропии на некотором разумном пространстве мер), и, следовательно, макроскопические величины, вычисляемые на его основе, будут обладать всеми хорошими термодинамическими свойствами.

Две стандартные ссылки для этого будут

• Термодинамический формализм Рюэля . Обратите внимание, что книга предназначена для математиков, она очень тупая и трудная для понимания и требует практических знаний в области топологии, функционального анализа и теории меры.
• Меры Гиббса Георгия и фазовые переходы , где целая часть книги посвящена формальной трактовке вариационной задачи для мер. Он также изучает геометрию пространства меры Гиббса при варьировании потенциала (поскольку для каждой фазы для данного потенциала существует одна крайняя мера Гиббса, это не что иное, как фазовая диаграмма с линиями сосуществования и т. д.; хотя здесь фаза диаграмма на самом деле бесконечномерна). Здесь можно обойтись лишь рудиментарными знаниями в вышеперечисленных областях, так как Георгий развивает некоторые нужные ему разделы топологии и теории вероятностей.

Часть II: Статистическая механика книги « Классическая и квантовая механика через алгебры Ли» показывает, как традиционная форма термодинамики следует из статистической механики, включая соотношения Максвелла, и без принятия эргодической гипотезы (которая не выполняется для большинства сложных систем).