Меня интересует математическая теория состояний равновесия при положительной температуре. Согласно монографии Барри Саймона, The Statistical Mechanics of Lattice Gases'' at page 246, the set of equilibrium states characterized by the DLR equations contains all limits of finite-volume Gibbs states associated to the given interaction. My question is about the converse, namely, Are there equilibrium states satisfying the DLR equation which are however not written as a weak limit of finite-volume Gibbs states? I suspect that such an equilibrium state seems exceptional (if it exists). I would like to know thorough model independent argument on the meaning ofсамый маленький», на что указывает книга Саймона.
Да, в общем случае существуют решения уравнений ДЛР, не являющиеся пределами гиббсовских состояний конечного объема. Теперь позвольте мне сделать несколько дополнительных замечаний по этому поводу.
Пример меры Гиббса, которая не может быть получена как предел конечно-объемной меры Гиббса, можно найти в примере 6.64 нашей книги (собственно, раздел 6.8.2 явно посвящен поднятому вами вопросу); этот пример относится к трехмерной модели Изинга и был найден независимо Миямото и Кокилем (точные ссылки даны в книге). Кстати, я рекомендую вам ознакомиться с главой 6 нашей книги, так как я считаю, что последняя представляет собой более легкое введение в эту тему, чем глава Саймона.
Как вы, наверное, знаете, множество всех состояний Гиббса, связанных с данным потенциалом взаимодействия, является симплексом. В частности, все его элементы единственным образом записываются в виде выпуклой комбинации экстремальных мер Гиббса. Можно утверждать, что экстремальные меры являются физически релевантными, а поскольку другие меры не содержат интересной дополнительной физики, важным моментом является то, что все экстремальные меры Гиббса могут быть получены как пределы мер Гиббса конечного объема . На самом деле, если является экстремальной мерой Гиббса, то можно использовать в качестве граничного условия -практически любая конфигурация.
Существуют модели, в которых все меры Гиббса могут быть получены как предельные для конечнообъемных, но это должны быть исключения (конечно, когда мер Гиббса больше одной). Примером может служить двумерная модель Изинга (и то же самое, вероятно, верно для общих двумерных моделей Поттса, но есть несколько вещей, которые следует проверить).
Я не уверен, что (обязательно неэкстремальные) меры Гиббса, не являющиеся пределами мер конечного объема, встречаются редко. Например, рассмотрим четырехмерную модель Изинга. Затем мне трудно представить себе граничные условия, которые дадут самые нетривиальные смеси и . В более низких измерениях вы можете использовать тот факт, что (все в двух измерениях, некоторые в трех измерениях) интерфейсы имеют неограниченные флуктуации, чтобы создать такие смеси, выбрав подходящее граничное условие типа Добрушина. Но ожидается, что интерфейсы будут иметь ограниченные колебания размеров. и выше.
Во всем вышеизложенном я предполагаю обычный случай детерминированных граничных условий. Если вы допускаете случайные граничные условия, выбранные из произвольных вероятностных мер, то вы, очевидно, можете записать любую меру Гиббса как предел мер конечного объема. Эта более общая настройка в настоящее время используется нечасто, но см., например, раздел 2.1.6 в книге Пресутти .
if μ is an extremal Gibbs measure, then you can use as a boundary condition μ-almost any configuration.'' It seems to me non-trivial to extend this argument based on probability theory to quantum lattice systems, since the quantum counter part of the notion конфигурация'' не очевидна для квантового случая.
Qмеханик
Иван Веленик