Дополнительная энергия в системах с двойной массой и пружиной

Вы должны анализировать обе массы вместе как единую систему СГМ - тогда вы не можете разделить ее на два независимых компонента СГМ.

Предположим, мы начинаем с пружины ее естественной длины и перемещаем массу$m$слева на расстоянии$x_1$и масса$M$вправо на расстоянии$x_2$. Сила, с которой пружина действует на обе массы, теперь равна$k(x_1+x_2)$. Итак, если мы перемещаем массу$m$от$x_1=0$к$x_1=A_1$и мы перемещаем массу$M$от$x_2=0$к$x_2=A_2$тогда полная энергия, запасенная в пружине, равна

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

где$y=x_1+x_2$, и

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

так что нет никакой "лишней энергии".

Когда мы отпускаем массы, уравнение движения массы$m$является

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

и для массы$M$это

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

Складывая их вместе, мы получаем

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

где$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, и$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Так

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Сходным образом

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Когда пружина возвращается к своей естественной длине,$y=0$и$\cos \sqrt{k'}t = 0$так$\sin \sqrt{k'}t = 1$. Итак, кинетическая энергия системы равна

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

Другими словами, вся потенциальная энергия, запасенная в пружине, как и ожидалось, была преобразована в кинетическую энергию.

Позволять$x$быть величиной максимального смещения от положения равновесия массы$m$и$X$быть величиной максимального смещения от положения равновесия массы$M$.

Сохранение импульса системы требует$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

Для этой системы собственная частота колебаний определяется выражением$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

Максимальная кинетическая энергия системы равна$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

Ввод значения$\omega^2$и умножение дает кинетическую энергию как

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.

Можно провести более общий анализ, чтобы показать, что полная энергия системы постоянна.