Метрика пространства-времени пространственно плоского ( ) Вселенная FLRW с преобладанием излучения определяется выражением
Теперь мне интересно, какова скорость, бейсбольного мяча, каким его видит второй наблюдатель непосредственно перед тем, как его поймают?
Обратите внимание, что и являются физическими скоростями бейсбольного мяча (которые можно измерить, например, с помощью «радарной пушки»), а не «координатной скоростью» (такой как « "). Мы не предполагаем здесь, что , .
На протяжении всего вопроса я буду использовать и для обозначения 4-импульса бейсбольного мяча в моменты времени и , и для представления пространственной составляющей его физической скорости, и и для представления масштабного фактора Вселенной в это время.
Однородность и изотропность Вселенной означают, что независимо от того, в каком направлении бейсбольный мяч брошен сопутствующим наблюдателем , он будет следовать геодезической в пространстве-времени FRW, которая является «радиальной» траекторией в том смысле, что
и
где - радиальная координата FRW такая, что для сопутствующей кривизны , и является компонентом 4-импульса бейсбольного мяча в этом направлении. Точка обозначает производную по собственному времени.
Математически это условие на можно увидеть, понизив индексы на геодезическом уравнении и перемаркировка фиктивных индексов для получения
Поскольку метрика здесь не зависит от , Мы видим, что постоянна вдоль геодезической.
Интуитивно, поскольку Вселенная расширяется от каждой точки, она расширяется от наблюдателя 1 во всех направлениях, поэтому все направления соответствуют броскам по радиальной траектории.
Зная это, мы хотим сформулировать задачу в терминах ковариантных составляющих импульса, поэтому мы будем использовать соответствующий линейный элемент для массивного бейсбольного мяча,
Масса не имеет малой скорости, поэтому, используя специально-релятивистское условие массы-оболочки , мы получаем
Замена этих в элемент строки, отменяя и, взяв соотношение двух уравнений, дает
Но, как обсуждалось ранее, сохраняются вдоль геодезической, а значит, сокращаются! Наконец, поскольку масса сохраняется, мы можем записать пространственные импульсы через пространственные скорости как
Это дает с точки зрения как требуется.
Эта картина разделенной во времени Вселенной должна помочь визуализировать ситуацию. Красные линии — сопутствующие наблюдатели, синяя линия — траектория бейсбольного мяча, а черные стрелки — пространственные компоненты скорости бейсбольного мяча в моменты времени. и .
Юктерез
косатка
Юктерез
косатка