Внутренние произведения, содержащие тензорное произведение двух операторов

В книге Нильсена и Чуанга «Квантовые вычисления и квантовая информация» концепция тензорных произведений представлена ​​следующим образом.

Предположим, у нас есть векторы | в ⟩ и | ж ⟩ которые существуют в векторных пространствах В и Вт соответственно. Определим также линейные операторы А и Б который существует в тех же соответствующих векторных пространствах. Тогда мы можем определить тензорное произведение этих векторов и операторов, которое ведет себя следующим образом

(1) ( А ⊗ Б ) ( | в ⟩ ⊗ | ж ⟩ ) "=" А | в ⟩ ⊗ Б | ж ⟩

Я могу принять это как определение, но мой вопрос возникает из упражнения, в котором предлагается оценить

(2) ⟨ ψ | Е ⊗ я | ψ ⟩
где Е является положительным оператором и | ψ ⟩ любое из четырех состояний Белла . Однако в книге не описывается поведение выражения
(3) ( А ⊗ Б ) ( | в ⟩ )
Я предполагаю, что это неверное выражение, поскольку | в ⟩ не существует в векторном пространстве В ⊗ Вт на котором определен оператор. Правильно ли я думаю об этом? Как расширить внутренний продукт в уравнении (2)?

Ответы (1)

Это совершенно точно определенное выражение, потому что тензорное произведение представляет собой линейное пространство.

Векторы | в ⟩ ⊗ | ж ⟩ образуют основу всего векторного пространства тензорных произведений, поэтому любой вектор (включая состояние Белла) в этом пространстве может быть записан как линейная комбинация таких базисных векторов.

| ψ ⟩ "=" ∑ я Дж с я Дж | в Дж ⟩ ⊗ | ж Дж ⟩
Поскольку операторы линейны и мы знаем, как воздействовать на каждый член, результат действия оператора л является
л | ψ ⟩ "=" ∑ я Дж с я Дж л | в Дж ⟩ ⊗ | ж Дж ⟩
где ваши формулы уже говорят, как оценивать отдельные термины, например, для л "=" Е ⊗ я .

Естественный скалярный продукт двух векторов в пространстве тензорного произведения определяется простым произведением факторов. Выберите базис, как указано выше, и запишите внутренний продукт двух базисных векторов как произведения наиболее простым способом.

⟨ в я | ⊗ ⟨ ж Дж | ⋅ | в м ⟩ ⊗ | ж к ⟩ "=" ⟨ в я | в м ⟩ ⋅ ⟨ ж Дж | ж к ⟩
Это снова определяет внутренний продукт для любых двух векторов по линейности. Разложите каждый из двух общих векторов в пространстве тензорного произведения, которые входят во внутренний продукт, как линейную комбинацию простых в ж базисных векторов, приведенных выше, применить распределительный закон для вычисления скалярного произведения каждого термина и суммировать термины с одинаковыми коэффициентами.

Большое спасибо за Ваш ответ. Итак, в случае состояния Белла | ψ ⟩ "=" | 00 ⟩ + | 11 ⟩ 2 , это эквивалентно выражению в виде | ψ ⟩ "=" 1 2 | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ + 1 2 | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ . Что тогда подразумевает ⟨ ψ | Е ⊗ я | ψ ⟩ "=" 1 2 ⟨ 0 | Е | 1 ⟩ ⟨ 0 | я | 1 ⟩ Это верно?
@Hedra: Да на твой первый вопрос. Точно то же самое, первое обозначение более компактно. Нет на ваш второй вопрос, у вас есть 4 термины, обратите внимание, что Е ⊗ я | ψ ⟩ "=" 1 2 Е | 0 ⟩ ⊗ я | 0 ⟩ + 1 2 Е | 1 ⟩ ⊗ я | 1 ⟩
ааа, теперь, когда я это вижу, это очевидно, но, думаю, я ожидал этого, учитывая, что я запутался в обозначениях. Спасибо вам обоим.
Внутренние произведения, содержащие тензорное произведение двух операторов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v