Предварительные сведения : В своем тексте QFT Пескин и Шредер дают пропагатор KG (уравнение 2.50).
где . Для светоподобных разделений мы можем выбрать кадр, в котором чисто во времени, и пропагатор можно представить в виде (2.51)
где я использую соглашение.
Теперь у вас есть следующее интегральное представление модифицированной функции Бесселя ( http://dlmf.nist.gov/10.32.8 )
где мы переходим ко второй строке, изменяя масштаб переменной интегрирования . Сравнение с предлагает
где мы записали временной интервал в терминах инварианта Лоренца . (Примечание: в том, что я здесь написал, есть проблема, заключающаяся в том, что интегральное представление действует только для и находится на мнимой оси ( ), но я думаю, что можно было бы бесконечно мало сместить от мнимой оси, чтобы получить сходящийся интеграл. Проверьте меня на это.)
Во всяком случае, для пространственноподобных разделений мы можем выбрать кадр, в котором . Выполнение полярных интегрирований дает
Наконец, PS утверждает, что взятие контурного интеграла в верхней полуплоскости (следя за тем, чтобы избежать среза ответвления в точке +im) даст
Вопрос: Я знаю из Mathematica, что пространственноподобный пропагатор также может быть выражена как модифицированная функция Бесселя . Кроме того, границы интегрирования и даже одинаковы. Однако я не вижу, как преобразовать пространственноподобный интеграл пропагатора в форме . Есть идеи?
(Я бы предпочел, если это вообще возможно, использовать интегральное представление, которое я цитировал и используется для времениподобного случая, а не для какого-либо другого представления модифицированной функции Бесселя.)
Это можно увидеть путем частичного интегрирования
OP edit : более явно, мы используем это, чтобы написать как
Noix07