Эквивалентность функциональных и частных производных

Определение (интеграла) функциональной производной (по крайней мере, определение, достаточно хорошее для строгости физического уровня) - это разность функционала, вычисляемого на пути$x(t)$плюс произвольная вариация$\epsilon(t)$а функционал оценивается по пути в ведущем порядке по$\epsilon$. Другими словами

$$\begin{equation} S[x(t)+\epsilon(t)]-S[x]=\int dt \frac{\delta S}{\delta x} \epsilon(t) + O(\epsilon^2) \end{equation}$$ Тот факт, что это определение помещает функциональную производную внутрь интеграла, является отражением того факта, что функциональная производная является распределением, подобно дельта-функции Дирака, она хорошо определена только внутри интеграла.

Теперь определите

$$\begin{equation} S_V[x(t)]=\int dt V(x(t)) \end{equation}$$ Затем $$\begin{equation} S_V[x(t)+\epsilon(t)]=\int dt V(x+\epsilon)=\int dt\left( V(x) + \frac{\partial V}{\partial x}\epsilon+O(\epsilon^2)\right) \end{equation}$$ Сравнивая с определением функциональной производной, мы видим, что можем определить $$\begin{equation} \frac{\delta S_V}{\delta x} = \frac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$ какое утверждение вам нужно.

Вот как я об этом думаю. Действие — это функционал: оно принимает функцию и возвращает число. Функциональная производная спрашивает: «При очень небольших изменениях функции, подаваемой на функционал, как изменяется значение функционала?»

Сначала давайте подумаем о траектории,$x(t)$. Это то, что мы будем скармливать функционалу. Теперь рассмотрим гладкое семейство таких траекторий,$x_\lambda (t)$. То есть для каждого$\lambda$у нас другая траектория, с небольшими изменениями в$\lambda$приводит к небольшим изменениям в$x_\lambda (t)$. Предположим, что на самом деле существует функция$\delta x (t)$такой, что

$$\delta x (t) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{x_\lambda (t) - x_0 (t)}{\lambda}.$$

Если каждый$\lambda$дает траекторию, каждая траектория дает действительное число при подаче на функционал, затем композиция дает функцию

$$S[x_\lambda]: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ .

Это просто реальная функция, поэтому мы можем взять ее производную, не заглядывая в пупок.

Если$S$достаточно хорош, то есть функция, которую мы соблазнительно назовем$\frac{\delta S}{\delta x}$такое, что для любой семьи$x_\lambda$, у нас есть

$$\left.\frac{d S[x_\lambda]}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} = \int \frac{\delta S}{\delta x} \delta x \,dt.$$

Итак, давайте разберемся с действительно простым «действием», которое полностью потенциально:

$$S[x] = \int_{t_i}^{t_f} (V \circ x)(t) \, dt$$

Я даю вам функцию$x(t)$, вы составляете его с помощью V, интегрируете, и вы получаете действительное число. Если я дам тебе семью$x_\lambda$, то имеем функцию

$$S[x_\lambda] = \int_{t_i}^{t_f} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt$$

Каждый$\lambda$дает другую функцию и, следовательно, другое число. это просто ваниль$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$функция. Взятие его производной дает

$$\left.\frac{d S[x_\lambda]}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} = \frac{d }{d \lambda}\int_{t_i}^{t_f} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d }{d \lambda} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} (V^\prime \circ x) \left( \left.\frac{d x_\lambda}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} \right) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} (V^\prime \circ x) \delta x \, dt$$

Итак, глядя на наше определение, мы видим, что

$$\frac{\delta S}{\delta x} = V^\prime \circ x.$$

Обратите внимание, что предпоследняя строка следует как раз из цепного правила.