Поиск конкретного лагранжиана

Я знаю теоретические условия существования некоторых уравнений Эйлера-Лагранжа (вариационный бикомплекс и т. д.), но тем не менее пытаюсь вручную найти лагранжиан, который давал бы какое-то сложное уравнение. На данный момент кажется, что мои трудности можно свести к одномерной задаче, получив член вида

т г ф г т

Можно ли найти лагранжиан, уравнение Эйлера-Лагранжа которого дает такой член, и только этот?

Некоторые расчеты:

  • Прежде всего, я позволяю себе лагранжиан, который зависит от производных более высокого, чем 1-го порядка, тогда уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид

    ∂ л ∂ ф − ∂ т ∂ л ∂ ( ∂ т ф ) + ∂ т т ∂ л ∂ ( ∂ т т ф ) − ∂ т т т ∂ л ∂ ( ∂ т т т ф ) + ⋯ "=" 0

  • термин формы т 2 ф ∂ т т ф дает

    ∂ л ∂ ф "=" т 2 ∂ т т ф и ∂ т т ∂ л ∂ ( ∂ т т ф ) "=" ∂ т т ( т 2 ф ) "=" ∂ т ( 2 т ф + т 2 ∂ т ф )
    "=" 2 ф + 2 т ∂ т ф + 2 т ∂ т ф + т 2 ∂ т т ф

Во всех моих попытках, каждый раз т ∂ т ф появляется, то и т 2 ∂ т т ф с тем же 1 / 2 соотношение (не забудьте первый член уравнения Эйлера-Лагранжа)

Я предполагаю, что в одиночку получить такой срок невозможно, но я немного разочарован.

Из любопытства: в каком контексте возникло это уравнение?
О, это гораздо большее уравнение, и я отбросил все (включая другие частные производные), потому что чувствовал, что проблематичен только этот член. Я пытаюсь написать оператор, связанный с казимиром Вт 2 (как писал Кляйн-Гордон п 2 )
Я думал о сумасшедших вещах, которые на самом деле меня немного смущают. Я помню, что одним из преимуществ лагранжевого формализма было то, что уравнение Эйлера-Лагранжа не зависит от выбора координаты. Но я думал о рассмотрении ф ~ "=" ф ( т 2 / 2 ) так что ф ~ ′ ( т ) "=" т ф ( т ) ~ , можно ли это как-то использовать...??

Ответы (1)

ОП спрашивает, существует ли термин действия С такой, что

(А) дельта С дельта ф ( т )   "=" ?   т г ф ( т ) г т .
Тогда для согласованности мы должны иметь
(Б) дельта 2 С дельта ф ( т ′ ) дельта ф ( т )   "=" ( А )   т г г т дельта ( т − т ′ ) .
Но ур. (B) несовместно, так как его левая часть симметрична 1 под т ↔ т ′ обмена, а распределения в правой части нет . Это может быть немного тонко, чтобы увидеть последнее. Ниже следует, возможно, не обязательно самое простое, но, по крайней мере, строгое и, надеюсь, убедительное доказательство: Примените, например, тестовую функцию Гаусса к распределению в правой части уравнения. (Б):
(С) ∬ р 2 г т   г т ′   опыт ⁡ { − а т 2 − а ′ т ′ 2 }   т г г т дельта ( т − т ′ )   "="   − а ′ π ( а + а ′ ) 3 .
Это не симметрично относительно а ↔ а ′ замена двух положительных констант а , а ′ > 0 .

Таким образом, мы заключаем, что такой член действия С не существует. ◻

Связанные сообщения Phys.SE: Почему мы не можем приписать потенциал (возможно, зависящий от скорости) диссипативной силе? , Как показать, что для данной классической системы существует вариационный принцип действия? , и ссылки в нем.

--

1 Поскольку OP спрашивает об этом в комментарии, давайте здесь приведем, надеюсь, поучительный пример. Рассмотрим срок действия

(Д) С   "="   ∫ г т   л ( т ) , л ( т )   "="   т 2 2 ф ( т ) г 2 ф ( т ) г т 2 .
Функциональная производная тогда
(Е) дельта С дельта ф ( т )   "=" ( Д )   ф ( т ) + г г т { т 2 г ф ( т ) г т } .
Вторая функциональная производная т ↔ т ′ симметричный:
(Ф) дельта 2 С дельта ф ( т ′ ) дельта ф ( т )   "=" ( Е )   дельта ( т − т ′ ) − г г т г г т ′ { т т ′ дельта ( т − т ′ ) } .

Я еще не подтвердил ответ, потому что мне все еще интересно, действительно ли правая сторона не симметрична....
т дельта ′ ( т − т ′ ) как дистрибутив с "переменной" т : позволять ψ ( т ) быть тестовой функцией, оценка распределения означает взять производную, умножить на t и затем оценить все в т ′ один получает т ′ ψ ′ ( т ′ ) . Обмен т и т ′ : ⟨ т ′ дельта ( т ′ − т ) , ψ ( т ′ ) "=" т ψ ′ ( т ) . Или, может быть, все же следует рассматривать его как дистрибутив в т , в таком случае ⟨ т ′ дельта ( т ′ − т ) , ψ ( т ) "=" | 1 | × т ′ ψ ′ ( т ′ )
По-видимому, действительно имеет место «лемма Шварца»!! Я попробовал это на простом лагранжиане. Тогда для расчета я немного заржавел, но я нахожу − а ( а + а ′ ) 2 π а + а ′ тем не менее, я вижу, что для произвольной тестовой функции с двумя переменными симметрию нарушает тот факт, что производная берется по одной переменной, а не по другой.
@Qmechanic Подождите!!!... является следующей симметричной: возьми л ( т , ф , ⋯ ) "=" т 2 ф ∂ т т ф ,   дельта С дельта ф ( т ) "=" 2 ф + 4 т ∂ т ф + 2 т 2 ∂ т т ф и поэтому дельта С дельта ф ( т ′ ) дельта ф ( т ) "=" 2 дельта ( т − т ′ ) + 4 т дельта ′ ( т − т ′ ) + 2 т 2 ∂ т т дельта ( т − т ′ ) ?? Вроде нет?!
Да, приведенный выше пример симметричен, как и должно быть.
@Qmechanic Я ошибаюсь, или причина, по которой появляется несимметричный термин, заключается в том, что производная берется либо по отношению к т (или т ′ но не оба). Если это так, то я не понимаю, почему приведенный выше пример симметричен.
@AccidentalFourierTransform Прежде всего, речь идет о распределении по двум переменным. Затем т слева — гладкая функция, умножающая распределение Дирака, а не тестовая функция (к которой применяется Дирак), так что я не думаю, что это правильно
@AccidentalFourierTransform была производная дельта ′ и вы применили его на т так что на вашем rhs не появляется производная. Если вы сделаете это на т ф ( т ) вы получаете производную от ф , причем надо брать производную и потом умножать... а может и нет, тут непонятно....
Поиск конкретного лагранжиана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v