Правильный вывод уравнений Эйнштейна из действия Гильберта

Что, я думаю, сбивает вас с толку, так это использование обозначения частной производной в вариационном исчислении. Как правило, намного проще, особенно при выполнении расчетов в GR, использовать$\delta$-операторная нотация вместо этого. ($\delta$-оператор по определению подчиняется правилу произведения:$\delta(fg) = f \delta g + g \delta f$.) Тем не менее, я записал основы того, что здесь происходит, в ваших обозначениях; В конце мне нужно сделать небольшую выдумку (посмотрите, сможете ли вы это заметить!), но будьте уверены, что я записываю все, используя$\delta$-operators делает все немного более строгим.

Итак, возьмем функциональную производную произведения$F (g, \partial g) G(g, \partial g)$:

$$\delta \left[ F (g, \partial g) G(g, \partial g) \right] = \left( \frac{\partial F}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) G( g^{ij}, \partial_k g^{ij}) + \left( \frac{\partial G}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) F( g^{ij}, \partial_k g^{ij})$$ Первые члены в каждом наборе скобок (пропорциональные $\partial F/\partial g^{ij}$& $\partial G/\partial g^{ij}$), очевидно, подчиняются правилу произведения, когда взяты вместе, поэтому давайте сосредоточимся на остальных:
$$\left(\frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) G + \left( \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) F \\ = \partial_k \left[ \left( \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right) \delta g^{ij} \right] - \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right] \delta g^{ij}$$ и поэтому (отбрасывая полную производную) имеем $$\frac{\delta \left[ F (g, \partial g) G(g, \partial g) \right]}{\delta g^{ij}} = G \frac{\partial F}{\partial g^{ij}} + F\frac{\partial G}{\partial g^{ij}} - \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right]. \qquad {(1)}$$ Этот последний член, как вы заметили, вообще не будет равен $$- G \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right] - F \partial_k \left[\frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right]$$ как и следовало ожидать от правила произведения.

Однако в случае действия Эйнштейна-Гильберта имеем$F = \sqrt{-g}$и$G = R$. С$\nabla_k F = 0$(помните, мы действительно должны использовать ковариантные производные выше) и так как$\partial F/\partial (\partial_k g^{ij}) = 0$, второе слагаемое в (1) принимает вид

$$- \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right] = - F \partial_k \left[ \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right] = - G \partial_k [0] - F \partial_k \left[ \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right],$$ это то , что вы ожидаете от правила продукта. Аналогичная логика применима и к случаю, когда $G$(но нет $F$) зависит от высших производных полей.

Я думаю, важно понимать, что именно функциональный дифференциал$\delta$делается. У нас есть функционал$S:\mathscr E\to \Bbb R$, где$\mathscr E$есть некоторое векторное пространство конфигураций полей (гладких тензорных полей или чего-то еще). Мы берем гладкую семью$\psi_\epsilon$полей, где$\epsilon\in (-\delta,\delta)$. Как$\epsilon$изменяется, мы получаем семью$S_\epsilon=S(\psi_\epsilon)$. Мы определяем$\delta S/\delta\psi(\psi_0)$условием, что для каждой такой семьи с$\psi_0$исправлено, у нас есть

$$\delta S:=\left.\frac{dS_\epsilon}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}=\int_M \frac{\delta S}{\delta\psi}(\psi_0)\delta\psi,\quad \delta\psi:=\left.\frac{d\psi_\epsilon}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}.$$ Если $S=\int L$, то мы просто имеем $$\frac{dS}{d\epsilon}=\int_M \frac{dL}{d\epsilon}\,\mu,$$ где $\mu$есть некоторая мера, не зависящая от $g$. Параметр $\epsilon=0$дает $$\delta S=\int_M\delta L\,\mu.$$ Так $\delta$действительно является производным, потому что это $d/d\epsilon$.

Обдумав ответ Майкла Сейферта, я понял, в чем заключается полное решение моей проблемы. Дело в том, что выражение$\delta \mathcal{L}$, который определяется как

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_k g^{ij})} \partial_k (\delta g^{ij}) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_l \partial_k g^{ij})} \partial_l \partial_k (\delta g^{ij}),$$

нельзя спутать с$\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}}$, в отличие от дифференциалов. Это потому, что у нас нет линейного приближения

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}} \delta g^{ij}$$

as, again, we do have for differentials, but rather

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}} \delta g^{ij} + \partial_i f^i,$$

for some vector $f^i$. This difference is what prevents $\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{ij}}$ from being a derivation. Doing the whole computation with the operator $\delta$ rather than the functional derivative $\frac{\delta}{\delta g^{ij}}$ works out just fine. This is actually what is depicted on the Wikipedia page; I simply assumed that the $\delta$-дифференциальная запись была стенографией.