Частичная производная по времени действия на оболочке

У меня есть несколько вопросов о дифференциации действий в оболочке.

Вот что я сейчас понимаю (или думаю, что понимаю!):

1. Учитывая, что система с лагранжианом$\mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$имеет координату$\mathbf{q}_1$вовремя$t_1$, и координата$\mathbf{q}_2$вовремя$t_2$, существует единственный «экстремальный путь»$\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t)$что делает действие функциональным

   $$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)\text{d}t$$ стационарный. Другими словами,$\gamma$удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, $$\left.\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} -\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right)\right|_{q(t) = \gamma(t)} = \mathbf{0},$$ и имеет$\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t_1) = \mathbf{q}_1$и$\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t_2) = \mathbf{q}_2$.

2. Более того, наличие этой функции позволяет определять скорость, импульс и т. д. в конечных точках, например, импульс в точке$(t_2, \mathbf{q}_2)$является

   $$\mathbf{p}_2 = \left.\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}(t)}\right|_{t=t_2},$$ где$\dot{\gamma} \equiv \partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t) /\partial t$.

3. Игнорирование$t_1$и$\mathbf{q}_2$для простоты это позволяет определить действие в оболочке (см. здесь ) как

   $$s(t_2, \mathbf{q}_2) = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t. \tag{1}$$ Важно,$s$является функцией _$t_2$,$\mathbf{q}_2$, а не функционал. Следовательно, ее можно дифференцировать, как и любую другую функцию.

4. В Ландау показано, что

   $$\frac{\partial s}{\partial t_2} = -\mathcal{H}_2, \quad \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} = \mathbf{p}_2, \tag{2}$$

   но я не следую данному аргументу.

Я хотел бы получить уравнения (2) путем прямого дифференцирования (1). Я прочитал несколько ответов, которые выводят это по-разному ( здесь , здесь и здесь ), но у меня все еще есть некоторые вопросы. Во-первых, вот моя попытка дифференцировать по отношению к$\mathbf{q}_2$.

$$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} &= \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t\\ &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2} +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\cdot\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial \mathbf{q}_2} \text{d}t. \end{align}$$ Сейчас, $$\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial \mathbf{q}_2} =\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \frac{\text{d}\gamma}{\text{d} t} = \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2},$$ поэтому мы можем интегрировать по частям, чтобы получить $$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} &= \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\right)}_{\mathbf{0}}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2} \text{d} t\\ &=\mathbf{p}_2\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}(t_2). \end{align}$$ Чтобы (2) было верным, мы должны иметь$\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}(t_2) = \mathbf{I}$. Можно ли поменять местами порядок оценки и дифференцирования, чтобы написать $$\left.\frac{\partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t)}{\partial \mathbf{q}_2}\right|_{t=t_2} = \frac{\partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t_2)}{\partial \mathbf{q}_2} = \frac{\partial \mathbf{q}_2}{\partial \mathbf{q}_2} =\mathbf{I}?\tag{3}$$ Если да, то почему? Если нет, то как еще отсюда можно прийти к уравнению (2)?

Во-вторых, вот моя попытка дифференцировать по отношению к$t_2$.

$$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial t_2} &= \frac{\partial}{\partial t_2} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t \\ &= \mathcal{L}_2 + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t\\ &=\mathcal{L}_2 + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2} +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\cdot\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t_2} \text{d}t\\ &= \mathcal{L}_2 +\left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial t_2}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\right)}_{\mathbf{0}}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2} \text{d} t\\ &=\mathcal{L}_2 + \mathbf{p}_2\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2}(t_2) \end{align}$$ Чтобы перейти от первой строки ко второй, я использовал правило Лейбница для дифференцирования интегралов. Чтобы уравнение (2) было верным, мы должны иметь $$\frac{\partial \gamma}{\partial t_2}(t_2) = -\dot{\mathbf{q}}_2.\tag{4}$$ Это верно? Если да, то как это можно показать?

Я был бы очень благодарен за любую помощь, которую кто-либо может дать!