Электрический потенциал сфероидального гауссиана

Question

Электрический потенциал сфероидального гауссиана

Физика
электростатика
исследовательский уровень
конкретная ссылка
математическая физика

Эмилио Писанти

Я ищу результаты, которые вычисляют электростатический потенциал из-за сфероидального распределения Гаусса. В частности, я ищу решения уравнений вида

\nabla^{2} Φ знак равно Н опыт (- р^{2} / 2 о_{р}^{2}) опыт (- г^{2} / 2 о_{ℓ}^{2}),

$\nabla^2\Phi=N\exp\left({-\rho^2/2\sigma_r^2}\right)\exp\left({-z^2/2\sigma_\ell^2}\right),$ куда

ρ^{2} = x^{2} + y^{2}

$\rho^2=x^2+y^2$ , возможно, с некоторым полиномиальным множителем вида

ρ^{| m |} \cos (m ϕ) z^{n}

$\rho^{|m|}\cos(m\phi)z^n$ спереди.

Это имеет простое решение, когда две дисперсии $\sigma_r$ а также $\sigma_\ell$ равны, и в этом случае применяется сферическая симметрия, и закон Гаусса легко дает $\Phi$ с точки зрения функций ошибок.

Однако у меня возникли проблемы с поиском результатов для общего случая. Использование сфероидальных координат , кажется, не помогает, так как константа- $\mu$ поверхности представляют собой конфокальные сфероиды, которые сужаются до сфер по мере того, как они становятся больше, вместо того, чтобы сохранять свою эллиптичность, как плотность заряда.

Это выглядит достаточно стандартно, чтобы это должно было быть сделано раньше (верно?), но это также достаточно беспорядочно, и я не уверен, что это попало в какой-либо учебник. Кто-нибудь видел подобное раньше?

Бибопбутнестади

Только что посмотрел, но почему не работает разделение переменных?

Эмилио Писанти

Используя цилиндрические гармоники

z

$z$ интеграл получается

\int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{z^{' 2}}{2 σ_{ℓ}} - k | z - z^{'} |) d z^{'}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{z'^2}{2\sigma_\ell}-k|z-z'|\right)\mathrm{d}z'$ что выполнимо с точки зрения функций ошибок, но затем забивает

k

$k$ интеграл.

честный_vivere

@EmilioPisanty - я прослушивал одного из моих математически склонных коллег (потому что я думал, что видел это раньше, и меня сводило с ума то, что я не мог найти никаких упоминаний об этом). Он предложил перейти к сплющенным сферическим координатам, чтобы уравнение Лапласа стало разделимым с решениями, представленными в виде серий сплющенных сферических гармоник (т. е. связанных с функциями Ламе).

Эмилио Писанти

@honeste Это не сработает по причинам, указанным в вопросе. Не существует ортогональной системы координат, равнокоординатные поверхности которой имеют постоянную плотность заряда при таком распределении. (Или вы должны уточнить, что вы имеете в виду.)

честный_vivere

@EmilioPisanty - Итак, мой друг не согласен с существованием ортогональной системы координат. Я просто процитирую его для простоты: «Однако заведомо неверно, что не существует ортогональной системы с координатными поверхностями, соответствующими исходным изоповерхностям, так как все, что вам нужно сделать, это определить новую координату из аргумента экспоненты, сохранить азимутальный угол и при необходимости разгадывать третий базис. Однако такая система координат, вероятно, не является разделимой, и может быть не совсем тривиально, чтобы найти аналитическое выражение для третьей координаты ».

Эмилио Писанти

@honeste_vivere Ваше первоначальное предложение, однако, состояло в том, чтобы использовать сплющенные сфероидальные гармоники, и они не соответствуют заданному заряду: сплющенные сфероидальные гармоники описывают конфокальные эллипсоиды с переменным эксцентриситетом, тогда как поверхности изоплотности задачи имеют постоянный эксцентриситет и движущиеся фокусы . Если вы можете показать новый набор ортогональных координат, включающий

\sqrt{ρ^{2} + γ z^{2}}

$\sqrt{\rho^2+\gamma z^2}$ и покажите, что лапласиан разделяет полезным образом, тогда я весь внимателен.

Эмилио Писанти

(В противном случае практическая полезность этого вопроса четырехлетней давности для меня к настоящему времени несколько уменьшилась, и, хотя я нахожу любой прогресс интересным, я не могу посвящать сколько-нибудь много времени поиску зацепок — тем более, что к настоящему времени я вполне убеждён. что чистого решения просто нет.)

Эмилио Писанти

Однако ваше предложение системы с постоянным эксцентриситетом полезно само по себе .

честный_vivere

@EmilioPisanty - А, ладно, да, понятно. Сначала я прочитал ваш вопрос и был сбит с толку, потому что был абсолютно уверен, что видел не только это дифференциальное уравнение, но и аналитическое решение. Когда я увидел, что вы спросили, я был сбит с толку, потому что, если вы не нашли ответ, значит, я ошибся. Тем не менее, это полностью отвлекает меня, потому что я не могу заставить свой разум признать, что я не делал этого раньше...

Ответы (1)

Электрический потенциал сфероидального гауссиана

Только что посмотрел, но почему не работает разделение переменных?
Используя цилиндрические гармоники $z$ интеграл получается $\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{z'^2}{2\sigma_\ell}-k|z-z'|\right)\mathrm{d}z'$ что выполнимо с точки зрения функций ошибок, но затем забивает $k$ интеграл.
@EmilioPisanty - я прослушивал одного из моих математически склонных коллег (потому что я думал, что видел это раньше, и меня сводило с ума то, что я не мог найти никаких упоминаний об этом). Он предложил перейти к сплющенным сферическим координатам, чтобы уравнение Лапласа стало разделимым с решениями, представленными в виде серий сплющенных сферических гармоник (т. е. связанных с функциями Ламе).
@honeste Это не сработает по причинам, указанным в вопросе. Не существует ортогональной системы координат, равнокоординатные поверхности которой имеют постоянную плотность заряда при таком распределении. (Или вы должны уточнить, что вы имеете в виду.)
@EmilioPisanty - Итак, мой друг не согласен с существованием ортогональной системы координат. Я просто процитирую его для простоты: «Однако заведомо неверно, что не существует ортогональной системы с координатными поверхностями, соответствующими исходным изоповерхностям, так как все, что вам нужно сделать, это определить новую координату из аргумента экспоненты, сохранить азимутальный угол и при необходимости разгадывать третий базис. Однако такая система координат, вероятно, не является разделимой, и может быть не совсем тривиально, чтобы найти аналитическое выражение для третьей координаты ».
@honeste_vivere Ваше первоначальное предложение, однако, состояло в том, чтобы использовать сплющенные сфероидальные гармоники, и они не соответствуют заданному заряду: сплющенные сфероидальные гармоники описывают конфокальные эллипсоиды с переменным эксцентриситетом, тогда как поверхности изоплотности задачи имеют постоянный эксцентриситет и движущиеся фокусы . Если вы можете показать новый набор ортогональных координат, включающий $\sqrt{\rho^2+\gamma z^2}$ и покажите, что лапласиан разделяет полезным образом, тогда я весь внимателен.
(В противном случае практическая полезность этого вопроса четырехлетней давности для меня к настоящему времени несколько уменьшилась, и, хотя я нахожу любой прогресс интересным, я не могу посвящать сколько-нибудь много времени поиску зацепок — тем более, что к настоящему времени я вполне убеждён. что чистого решения просто нет.)
Однако ваше предложение системы с постоянным эксцентриситетом полезно само по себе .
@EmilioPisanty - А, ладно, да, понятно. Сначала я прочитал ваш вопрос и был сбит с толку, потому что был абсолютно уверен, что видел не только это дифференциальное уравнение, но и аналитическое решение. Когда я увидел, что вы спросили, я был сбит с толку, потому что, если вы не нашли ответ, значит, я ошибся. Тем не менее, это полностью отвлекает меня, потому что я не могу заставить свой разум признать, что я не делал этого раньше...

пользователь26872 · Answer 1

$\def\a{\alpha} \def\p{\pi} \def\s{\sigma} \def\f{\varphi} \def\S{\Sigma} \def\r{\varrho} \def\vr{\mathbf{r}} \def\ur{\mathbf{\hat{r}}} \def\o{\cdot} \def\RR{\mathbb{R}}$ Не полное решение, но слишком длинное для комментария.

Учитывайте плотность заряда

ϱ (Икс, у, г) знак равно Вопрос ф_{1} (Икс) ф_{2} (у) ф_{3} (г),

$\r(x,y,z) = Q \f_1(x)\f_2(y)\f_3(z),$ куда

ф_{я} (ты) знак равно \frac{1}{\sqrt{2 π} о_{я}} е^{- {ты}^{2} / (2 о_{я}^{2})} .

$\f_i(u) = \frac{1}{\sqrt{2\p}\s_i} e^{-u^2/(2\s_i^2)}.$ Обратите внимание, что

φ_{i}

$\f_i$ нормальное распределение с нулевым средним и стандартным отклонением

σ_{i}

$\s_i$ . Таким образом,

\int ϱ (r) d V = Q .

$\int \r(\vr) dV = Q.$ Мы нашли

\begin{aligned} \int \frac{ϱ (р^{'})}{| р - р^{'} |} г В^{'} & знак равно \sum_{н знак равно 0}^{\infty} \frac{1}{р^{н + 1}} \int_{р^{'} \leq р} ϱ (р^{'}) п_{н} (\hat{р} \cdot {\hat{р}}^{'}) {р^{'}}^{н} г В^{'} \\ + \sum_{н знак равно 0}^{\infty} р^{н} \int_{р^{'} > р} ϱ (р^{'}) п_{н} (\hat{р} \cdot {\hat{р}}^{'}) \frac{1}{{р^{'}}^{н + 1}} г В^{'}, \end{aligned}

$\begin{align*} \int \frac{\r(\vr')}{|\vr-\vr'|}dV' &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{r^{n+1}} \int_{r'\le r} \r(\vr') P_n(\ur\o\ur'){r'}^n dV' \\ &\quad + \sum_{n=0}^\infty r^n \int_{r'>r} \r(\vr') P_n(\ur\o\ur')\frac{1}{{r'}^{n+1}} dV', \end{align*}$ куда

P_{n}

$P_n$ это

n

$n$ полином Лежандра. За

r ≫ max (σ_{i})

$r\gg \max(\s_i)$ это будет хорошо аппроксимироваться

я знак равно \sum_{н знак равно 0}^{\infty} \frac{1}{р^{н + 1}} \int_{р^{3}} ϱ (р^{'}) п_{н} (\hat{р} \cdot {\hat{р}}^{'}) {р^{'}}^{н} г В^{'} .

$I = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{r^{n+1}} \int_{\RR^3} \r(\vr') P_n(\ur\o\ur'){r'}^n dV'.$ С

P_{n}

$P_n$ нечетно тогда и только тогда, когда

n

$n$ странно, что мы находим

я знак равно \sum_{м знак равно 0}^{\infty} \frac{с_{2 м}}{р^{4 м + 1}},

$I = \sum_{m=0}^\infty \frac{c_{2m}}{r^{4m+1}},$ куда

с_{2 м} знак равно \int_{р^{3}} ϱ (р^{'}) п_{2 м} (\hat{р} \cdot {\hat{р}}^{'}) (р р^{'})^{2 м} г В^{'} .

$c_{2m} = \int_{\RR^3} \r(\vr') P_{2m}(\ur\o\ur')(r {r'})^{2m} dV'.$ (Заметим, например, что

P_{1} (\hat{r} \cdot {\hat{r}}^{'}) r r^{'} = r \cdot r^{'} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

$P_1(\ur\o\ur'){r r'}=\vr\o\vr'=x x'+y y'+z z'$ , который интегрируется до нуля. Таким образом, дипольный, октупольный,... вклады равны нулю.) Первые несколько

c

$c$ s даны как

\begin{aligned} с_{0} & знак равно Вопрос \\ с_{2} & знак равно \frac{Вопрос}{2} (3 Σ_{2, 2} - Σ_{2, 0} р^{2}) \\ с_{4} & знак равно \frac{Вопрос}{8} (105 Σ_{2, 2}^{2} - 30 (Σ_{2, 2} Σ_{2, 0} + 2 Σ_{4, 2}) р^{2} + 3 (Σ_{2, 0}^{2} + 2 Σ_{4, 0}) р^{4}), \end{aligned}

$\begin{align*} c_0 &= Q \\ c_2 &= \frac{Q}{2} (3\S_{2,2}-\S_{2,0}r^2) \\ c_4 &= \frac{Q}{8} \left(105 \S_{2,2}^2 -30(\S_{2,2}\S_{2,0}+2\S_{4,2}) r^2 +3(\S_{2,0}^2+2\S_{4,0}) r^4\right), \end{align*}$ куда

\begin{aligned} Σ_{м, н} & знак равно \sum_{я знак равно 1}^{3} о_{я}^{м} {Икс}_{я}^{н} . \end{aligned}

$\begin{align*} \S_{m,n} &= \sum_{i=1}^3 \s_i^m x_i^n. \end{align*}$ Это дает монопольный, квадрупольный и гексадекапольный вклады в

Φ

$\Phi$ за

r ≫ max (σ_{i})

$r\gg\max(\s_i)$ . Если

σ_{1} = σ_{2} = σ

$\s_1=\s_2 = \s$ мы нашли

\begin{aligned} с_{2} & знак равно \frac{Вопрос}{2} (о^{2} - о_{3}^{2}) ({Икс}^{2} + у^{2} - 2 г^{2}) \\ с_{4} & знак равно \frac{3 Вопрос}{8} (о^{2} - о_{3}^{2})^{2} (3 ({Икс}^{2} + у^{2})^{2} - 24 ({Икс}^{2} + у^{2}) г^{2} + 8 г^{4}) \end{aligned}

$\begin{align*} c_2 &= \frac{Q}{2}(\s^2-\s_3^2)(x^2+y^2-2z^2) \\ c_4 &= \frac{3Q}{8} (\s^2-\s_3^2)^2(3(x^2+y^2)^2-24(x^2+y^2)z^2+8z^4) \end{align*}$ В принципе

c

$c$ s можно вычислить в общем случае. Коэффициенты полиномов Лежандра известны, и мы можем разложить степени

r \cdot r^{'}

$\vr\o\vr'$ а также

{r^{'}}^{2 m}

${r'}^{2m}$ как трехчленный ряд. Задача сводится к нахождению моментов нормального распределения. Мы ожидаем исправления в связи с предположением, что

r ≫ max σ_{i}

$r\gg\max\s_i$ быть в порядке

\frac{1}{r} (1 - e r f \sqrt{\sum_{i} \frac{x_{i}^{2}}{2 σ_{i}^{2}}})

$\frac{1}{r}\left(1-\mathrm{erf} \sqrt{\sum_i \frac{x_i^2}{2\s_i^2}}\right)$ .

Электрический потенциал сфероидального гауссиана

Эмилио Писанти

Бибопбутнестади

Эмилио Писанти

честный_vivere

Эмилио Писанти

честный_vivere

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

честный_vivere

Ответы (1)

пользователь26872

Обсуждение аксиом АКФТ

Методы Фурье в общей теории относительности

Численный анализ эллиптических УЧП

Характеры suˆ(2)ksu^(2)k\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k и построения смежных классов WZW

Каково первое появление начального состояния MV (McLerran-Venugopalan)?

Разница между проекционными операторами и полевыми операторами в КТП?

Электростатическое поле на компактных поверхностях

Как можно различать проекции квантовых состояний?

Пешеходное объяснение конформных блоков

Значение гиперконечного фактора III1III1III_1 для аксиоматической квантовой теории поля