Характеры suˆ(2)ksu^(2)k\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k и построения смежных классов WZW

В настоящее время я изучаю аффинные алгебры Ли и конструкцию смежных классов WZW. У меня есть небольшая техническая проблема в вычислении (специализированного) характера$\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k$для аффинного веса$\hat{\lambda} = [k-\lambda_1,\lambda_1]$. Учитывая обобщенную тета-функцию

$$\Theta_{\lambda_1}^{(k)}(z,\tau) = \sum_{n\in\mathbb Z}e^{-2\pi i\left[knz+\frac 12\lambda_1 z-kn^2\tau-n\lambda_1\tau- \lambda_1^2\tau/4k\right]}$$ я хочу оценить $$\chi^{(k)}_{\lambda_1} = \frac{\Theta^{(k+2)}_{\lambda_1+1} - \Theta^{(k+2)}_{-\lambda_1-1}}{\Theta^{(2)}_1 - \Theta^{(2)}_{-1}}$$ в $z=0$. положить $z=0$непосредственно, и числитель, и знаменатель обращаются в нуль (поскольку нет никакой разницы между $\lambda_1$а также $-\lambda_1$из-за суммы). Итак, мой вопрос; каков правильный способ взять предел $z\rightarrow 0$? [Это взято из Ди Франческо и др ., раздел 14.4.2, стр. 585]. Результат должен быть $$\chi^{(k)}_{\lambda_1} = q^{(\lambda_1+1)^2/4(k+2)-\frac 18}\frac{\sum_{n\in\mathbb Z}\left[\lambda_1 + 1 + 2n(k+2)\right]q^{n[\lambda_1+1+2(k+2)n]}}{\sum_{n\in\mathbb Z}\left[1+4n\right]q^{n[1+2n]}}$$ куда $q=e^{2\pi i\tau}$.

Поскольку я боюсь, что решение моего вопроса довольно тривиально, у меня есть бонусный вопрос. Знаете ли вы какую-нибудь бумагу, в которой прорабатываются детали смежного класса?

$$\frac{\widehat{\mathfrak{su}}(N)_k\oplus \widehat{\mathfrak{su}}(N)_1}{\widehat{\mathfrak{su}}(N)_{k+1}}$$ для произвольного $N$? Я думаю о чем-то вроде того, что Ди Франческо и др. делает в разделе 18.3 для $N=2$. Было бы хорошо, если бы ссылка относилась к этому $\mathcal W$-алгебры.